Formulación matemática de la relatividad general

Este artículo discute la base matemática de la relatividad general .

Posiciones iniciales

Nuestra percepción intuitiva nos dice que el espacio-tiempo es regular y continuo, es decir, no tiene "agujeros". Matemáticamente, estas propiedades significan que el espacio-tiempo será modelado por una variedad diferenciable de 4 dimensiones , es decir, un espacio de 4 dimensiones para el cual la vecindad de cada punto se parece localmente a un espacio euclidiano de cuatro dimensiones . Suavidad significa aquí diferenciabilidad suficiente, aunque sin especificar su grado. $M_4$

Dado que, además, las leyes de la teoría especial de la relatividad se satisfacen con buena precisión , tal variedad puede estar dotada de una métrica lorentziana , es decir, un tensor métrico no degenerado con signatura (o, equivalentemente, ). El significado de esto se revela en la siguiente sección. $\{-,+,+,+\}$ $\{+,-,-,-\}$

Geometría del espacio-tiempo

N.B. Este artículo sigue las convenciones de signos clásicas de Misner, Thorne y Wheeler [1]

Este artículo también adopta la convención de Einstein para la suma sobre índices repetidos.

Tensor métrico

Una variedad derivable [2] M, dotada de un tensor métrico lorentziano g , es por tanto una variedad lorentziana , que constituye un caso especial de variedad pseudo-riemanniana (la definición de "lorentziana" se especificará más adelante en el texto; véase la sección métrica lorentziana a continuación ).

Tomemos algún sistema de coordenadas en la vecindad del punto , y sea una base local en el espacio tangente a la variedad en el punto . El vector tangente se escribirá entonces como una combinación lineal de vectores base: $x^{\mu}$ $PAGS$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_xM$ $METRO$ $x\en M$ $\mathbf w \in T_xM$

\mathbf{w} \ = \w^{\mu} \\mathbf{e}_{\mu}.

En este caso, las cantidades se denominan componentes contravariantes del vector w . El tensor métrico es entonces una forma bilineal simétrica : $\w^{\mu}$ $\matemáticas g$

\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},

donde denota el dual con respecto a la base en el espacio cotangente , es decir, formas lineales sobre , tal que: $dx^{\mu}$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_x^*M$ $T_{x}M$

dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}.

Además, supondremos que los componentes del tensor métrico cambian continuamente en el espacio-tiempo [3] . $g_{\mu\nu}(x)$

El tensor métrico puede así ser representado por una matriz simétrica real de 4x4 :

g_{\mu\nu}\=\g_{\nu\mu}.

En general, cualquier matriz real de 4x4 tiene a priori 4x4 = 16 elementos independientes. La condición de simetría reduce este número a 10: de hecho, hay 4 elementos diagonales, a los que debemos sumar (16 - 4) / 2 = 6 elementos fuera de la diagonal. Así, el tensor tiene sólo 10 componentes independientes. $g_{\mu\nu}$

Producto escalar

El tensor métrico define para cada punto de la variedad un pseudo - producto escalar ("pseudo-" en el sentido de que no hay definición positiva de la forma cuadrática asociada (el cuadrado de un vector; ver métrica lorentziana) en el pseudo-euclidiano espacio tangente a la variedad en el punto . Si y son dos vectores , su producto escalar se escribe como: $x \en M$ $M^{}$ $X$ $T_{x}M$ $\mathbf tú$ ${\mathbfv}$ $T_{x}M$

\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu } \ v^{\nu}

En particular, tomando dos vectores base, obtenemos las componentes:

g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \ cdot {\mathbf e}_{\nu}

Nota: si las cantidades denotan las componentes contravariantes del vector w , entonces también podemos definir sus componentes covariantes como: $w^{\mu}$

w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.

Distancia elemental - intervalo

Considere el vector de desplazamiento elemental entre un punto y un punto infinitamente cercano: . La norma infinitesimal invariante de este vector será un número real, denotado por , llamado cuadrado del intervalo, e igual a: $d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}$ $P^{}$ $| \epsilon^{\mu} | \ll 1$ $ds^2$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \\epsilon^{\nu}

Si designamos las componentes del vector desplazamiento elemental "de forma física" , el cuadrado infinitesimal de la longitud (intervalo) se escribirá formalmente como: $\epsilon^{\mu} = dx^{\mu}$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}

Atención : en esta fórmula, así como en otras, hay un número real, que se interpreta físicamente como un "cambio infinitesimal" de la coordenada , ¡y no como una forma diferencial! $dx^{\mu}$ $x^{{\ mu ))$

Métrica de Lorentz

Refinamos ahora la expresión "lorentziano" (más precisamente, localmente lorentziano), lo que significa que el tensor métrico tiene la signatura (1,3) y localmente coincide en primer orden con la métrica lorentziana de la teoría especial de la relatividad . El principio de equivalencia establece que es posible "borrar" el campo gravitatorio localmente eligiendo un sistema de coordenadas localmente inercial. Desde un punto de vista matemático, tal elección es una reformulación del conocido teorema sobre la posibilidad de reducir una forma cuadrática a los ejes principales.

En tal sistema de coordenadas localmente inercial, el invariante en un punto se puede escribir como: $X^{\alfa}$ $ds^2$ $PAGS$

ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta } \ dX^{\alpha } \ dX^{\beta } \ = \ - \c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,

donde está la métrica del espacio-tiempo de Minkowski , y en una pequeña vecindad de este punto $\eta_{\alfa\beta}$

ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta }) \ dX^{\alpha } \ dX^{\beta },

donde tiene un mínimo del segundo orden de pequeñez en las desviaciones de coordenadas del punto , es decir . Aceptando la convención de los signos de Misner, Thorne y Wheeler, tenemos [1] : $\delta_{\alfa\beta}$ $PAGS$ $\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\parcial \delta_{\alpha\beta)){\parcial X^\alpha}\right|_{P}= 0$

\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )

A continuación se utilizan las siguientes convenciones convencionales:

Los índices griegos van de 0 a 3. Corresponden a cantidades en el espacio-tiempo.
Los índices latinos varían de 1 a 3. Corresponden a los componentes espaciales de cantidades en el espacio-tiempo.

Por ejemplo, un vector de 4 posiciones se escribiría en un sistema de coordenadas localmente inercial como:

X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matriz} X^{0} \\ X^{i} \end{matriz} \right) \ = \ \left( \begin{matriz} X^ {0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matriz} \right) \ = \ \left( \begin{matriz} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matriz} \right).

Atención : de hecho, los incrementos de coordenadas finitos, no infinitesimales, no forman un vector. Un vector de ellos surge solo en un espacio homogéneo de curvatura cero y topología trivial.

El carácter lorentziano de la variedad asegura que las tangentes en cada punto del espacio pseudo-euclidiano tendrán productos pseudo-escalares ("pseudo-" en el sentido de que no hay una definición positiva de la forma cuadrática asociada (vector cuadrado) ) con tres valores propios estrictamente positivos (correspondientes al espacio) y un valor propio estrictamente negativo (correspondiente al tiempo). En particular, el intervalo elemental de "tiempo propio", que separa dos eventos sucesivos, es siempre: $M^{}$ $M^{}$

d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0.

Conceptos generales de conexión afín y derivada covariante

En general, una conexión afín es un operador que asocia un campo vectorial de un lápiz tangente con el campo de endomorfismos de este lápiz. Si es el vector tangente en el punto , por lo general se denota $\nabla$ $\matemáticas V$ $TM$ $\nabla \mathbf V$ ${\mathbf w} \in T_xM$ $x \en M$

\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).

Se dice que es la " derivada covariante " del vector en la dirección . Supongamos, además, que satisface la condición adicional: para cualquier función f, tenemos $\nabla_{\mathbf w} \mathbf V$ $\matemáticas V$ ${\matemáticas w}$ $\nabla \mathbf V$

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

La derivada covariante satisface las siguientes dos propiedades de linealidad:

linealidad en w , es decir, cualesquiera que sean los campos de los vectores w y u y de los números reales a y b , tenemos:

\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.

linealidad en V , es decir, cualesquiera que sean los campos de los vectores X e Y y los números reales a y b , tenemos:

\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.

Una vez que se define la derivada covariante para campos vectoriales, se puede extender a campos tensoriales usando la regla de Leibniz : si y son dos tensores cualesquiera, entonces por definición: ${\matemáticas T}$ $\matemáticas S$

\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\ matemáticasbf w} \mathbf S)

La derivada covariante del campo tensorial a lo largo del vector w es nuevamente un campo tensorial del mismo tipo.

Conectividad asociada a la métrica

Se puede probar que la conexión asociada a la métrica, la conexión Levi-Civita [1] , es la única conexión que, además de las condiciones anteriores, asegura adicionalmente que para cualquier campo de los vectores X, Y, Z de TM

$\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g( \mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)$ ( metricidad - el tensor de no metricidad es igual a cero).

$\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]$ , donde está el conmutador de Lie de X e Y (sin torsión , el tensor de torsión es igual a cero). $[\mathbf X,\mathbf Y]$

Descripción en coordenadas

La derivada covariante de un vector es un vector y, por lo tanto, se puede expresar como una combinación lineal de todos los vectores base:

\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_ \rho,

donde son las componentes vectoriales de la derivada covariante en la dirección (esta componente depende del vector w elegido ). $\gamma^\rho$ $\mathbf e_\rho$

Para describir la derivada covariante, basta con describirla para cada uno de los vectores base a lo largo de la dirección . Definamos entonces los símbolos de Christoffel (o simplemente los símbolos de Christoffel) en función de 3 índices [4] $\mathbf e_\nu$ $\mathbf e_\mu$ $\gamma^\rho {}_{\mu\nu},$

\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu)) {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\ rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho

La conexión Levi-Civita se caracteriza completamente por sus símbolos de Christoffel. Según la fórmula general

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

para el vector V :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu.

Sabiendo eso , obtenemos: $dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \parcial_\mu V^\nu$

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \parcial_\mu V^\ nu \ \mathbf e_\nu

El primer término de esta fórmula describe la "deformación" del sistema de coordenadas con respecto a la derivada covariante, y el segundo, los cambios en las coordenadas del vector V . Al sumar sobre índices tontos, podemos reescribir esta relación en la forma

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \parcial_\mu V^\nu \, \ derecha] \ \mathbf e_\nu

De esto obtenemos una fórmula importante para los componentes:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \parcial_ {\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho }

Usando la fórmula de Leibniz, se puede demostrar de la misma manera que:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \parcial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho } \ V_{ \rho}.

Para calcular estos componentes explícitamente, las expresiones de los símbolos de Christoffel deben definirse a partir de la métrica. Son fáciles de conseguir escribiendo las siguientes condiciones:

\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0.

El cálculo de esta derivada covariante conduce a

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \parcial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \parcial_\nu g_{\rho \sigma} \right),

donde están las componentes del tensor métrico “inverso” definido por las ecuaciones $g^{\mu\nu}\$

g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho

Los símbolos de Christoffel son "simétricos" [5] con respecto a los subíndices: $\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\$

Nota: a veces también se definen los siguientes símbolos:

\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\parcial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \parcial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \parcial_\nu g_{\rho \sigma} \right)

recibido como:

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}

Tensor de curvatura de Riemann

El tensor de curvatura de Riemann R es un cuarto tensor de valencia definido para cualquier campo vectorial X, Y, Z de M como

\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \ , (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .

Sus componentes se expresan explícitamente a partir de coeficientes métricos:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \parcial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \parcial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \parcial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \parcial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \ sigma } \derecho) \ +

+ \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {} _ { \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.

Simetrías de este tensor:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;,

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.

También satisface la siguiente relación:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0.

Tensor de curvatura de Ricci

El tensor de Ricci es el tensor de valencia 2 definido por la convolución del tensor de curvatura de Riemann

R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma } \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .

Sus componentes explícitamente a través de los símbolos de Christoffel:

R_{\mu \nu} \ = \ \parcial_{\rho } \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu} \ - \ \parcial_{\nu} \Gamma^{\rho } {} _{\mu \rho } \ + \ \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu } \Gamma^{\sigma } {}_{\rho \sigma } \ - \\Gamma^{\ sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .

Este tensor es simétrico: . $R_{\mu\nu}\=\R_{\nu\mu}\$

Curvatura escalar

La curvatura escalar es una invariante definida por la convolución del tensor de Ricci con la métrica

R\=\g^{\mu\nu}\R_{\mu\nu}\=\R^\nu_{~\nu}.

Las ecuaciones de Einstein

Las ecuaciones del campo gravitatorio, que se denominan ecuaciones de Einstein , se escriben como

R_{\mu\nu}\-\\frac{1}{2}\,g_{\mu\nu}\,R\+\\Lambda\g_{\mu\nu}\=\\frac{8 \piG}{c^4}\T_{\mu\nu},

más o menos

G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4))}\ T_{\mu \nu },

donde es la constante cosmológica , es la velocidad de la luz en el vacío, es la constante gravitatoria , que también aparece en la ley de gravitación universal de Newton, es el tensor de Einstein , y es el tensor energía-momento . $\lambda$ $C$ $GRAMO$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2))\,g_{\mu \nu }\,R$ $T_{\mu\nu}$

Un tensor simétrico tiene solo 10 componentes independientes, la ecuación del tensor de Einstein en un sistema de coordenadas dado es equivalente a un sistema de 10 ecuaciones escalares. Este sistema de 10 ecuaciones diferenciales parciales no lineales acopladas es, en la mayoría de los casos, muy difícil de aprender. $g_{\mu\nu}$

El tensor de energía-momento

El tensor de energía-momento se puede escribir como una matriz simétrica real de 4x4:

T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matriz} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_ {12} y T_{13} \\ T_{20} y T_{21} y T_{22} y T_{23} \\ T_{30} y T_{31} y T_{32} y T_{33} \end{matriz}\right).

Contiene las siguientes cantidades físicas:

T 00 - densidad de energía volumétrica . Debe ser positivo .
T 10 , T 20 , T 30 son las densidades de los componentes del momento .
T 01 , T 02 , T 03 son componentes del flujo de energía .
Submatriz 3 x 3 de componentes puramente espaciales:

T_{ik} \ = \ \left( \begin{matriz} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31 } & T_{32} & T_{33} \end{matriz} \right)

es la matriz de flujos de impulso . En mecánica de fluidos, las componentes diagonales corresponden a la presión, y las demás componentes a las fuerzas tangenciales (esfuerzos o, en la antigua terminología, tensiones) provocadas por la viscosidad .

Para un fluido en reposo, el tensor de energía-momento se reduce a una matriz diagonal , donde es la densidad de masa y es la presión hidrostática. ${\rm {diag}}({{\rho}c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $pags$

Notas

↑ 1 2 C. W. Misner, Kip S. Thorne y John A. Wheeler; Gravitación , Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0 . o C. MIZNER, C. THORNE, J. WHEELER. GRAVEDAD. volumen I-III. M. Mir, 1977.
↑ En lo que sigue, no escribimos el índice 4 en todas partes, que especifica la dimensión de la variedad "M".
↑ Más precisamente, deben ser al menos clase C².
↑ Advertencia, los símbolos de Christoffel no son tensores.
↑ La palabra "simétrico" está entre comillas, ya que estos índices, en virtud de su origen, no son tensores.

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