Teorema de Bloch

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El teorema de Bloch es un importante teorema de la física del estado sólido , que establece la forma de la función de onda de una partícula en un potencial periódico. Nombrado en honor al físico suizo Felix Bloch . En el caso unidimensional, este teorema a menudo se denomina teorema de Floquet. Formulado en 1928.

Redacción

Redacción estricta

Estados propios del hamiltoniano de un electrón

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\,,

donde el potencial U ( r ) es periódico sobre todos los vectores R de la red de Bravais, se pueden elegir de modo que sus funciones de onda tengan la forma de una onda plana multiplicada por una función que tiene la misma periodicidad que la red de Bravais:

\psi _{n\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {kr} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\,,

dónde

u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

para todo R perteneciente a la red de Bravais . El índice n se denomina número de zona. Su aparición se debe al hecho de que para un vector de onda k de partículas fijo arbitrario , el sistema puede tener muchos estados propios independientes.

Las funciones de onda electrónicas en la forma se denominan funciones de Bloch . Pero es importante entender que, a diferencia de las funciones de Bloch, las amplitudes no son funciones periódicas, ya que el término describe una onda plana . $u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$ $\psi _{n{\textbf {k}}}=e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}u_{n{\textbf {k}}}({\ textobf{r)))$ $e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}$

Aclaraciones a la redacción

El teorema considera un cristal infinito ideal. Esto significa que no tiene defectos y tiene simetría traslacional. En la construcción posterior de la teoría, las violaciones de la periodicidad de la red suelen considerarse pequeñas perturbaciones. Además, en un cristal real, los electrones interactúan entre sí, lo que debería reflejarse en el hamiltoniano del sistema añadiendo el término correspondiente. En la formulación del teorema, sin embargo, se utiliza la aproximación de electrones que no interactúan, lo que permite considerar un hamiltoniano de una partícula.

Prueba

Denote por T R el operador de traslación de una función arbitraria sobre el vector R . Debido a la periodicidad del hamiltoniano, tenemos:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}\psi ={\hat {H}}(\mathbf {r} +\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\sombrero {H}}(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\sombrero {H} }{\sombrero {T}}_{\mathbf {R} }\psi .

Así, el operador de traslación sobre un vector arbitrario de la red de Bravais conmuta con el hamiltoniano del sistema. Además, los operadores de traducción a dos vectores arbitrarios conmutan entre sí:

{\sombrero {T}}_{\mathbf {R} }{\sombrero {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )={\sombrero {T} }_{\mathbf {R'} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} + \mathbf {R'} )={\hat {T}}_{\mathbf {R} +\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} ).

Del teorema fundamental de la mecánica cuántica se sigue que en este caso los estados del hamiltoniano H pueden elegirse de tal manera que sean simultáneamente estados propios de todos los operadores T R :

{\sombrero {H}}\psi =E\psi ,

{\sombrero {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi .

Los autovalores c ( R ) están relacionados por la relación c ( R ) c ( R' )= c ( R + R' ), ya que, por un lado:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R } ){\sombrero {T))_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R} )c(\mathbf {R'} )\psi ,

con otro:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi ={\hat {T}}_{\mathbf {R } +\mathbf {R'} }\psi =c(\mathbf {R} +\mathbf {R'} )\psi .

Sean a i los tres vectores principales de la red de Bravais. Siempre podemos representar c ( a i ) como

c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi \mathbf {i} \mathbf {x}_{i)).

Para un vector arbitrario R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , la igualdad es verdadera:

c(\mathbf {R} )=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}*c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2} }*c(\mathbf{a} _{3})^{n_{3}},

equivalente a la igualdad , donde donde b i son vectores reticulares recíprocos que satisfacen la relación $c(\mathbf {R} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }$ $\mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b}_{1}+x_{2}\mathbf {b}_{2}+x_{3}\mathbf {b}_{3} \,,$

\mathbf {b}_{i}\mathbf {a}_{j}=2\pi \delta_{ij}.

Así, los valores propios ψ del hamiltoniano H se pueden elegir de tal manera que para cada vector R de la red de Bravais se cumpla la igualdad:

{\hat {T))_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )=c(\mathbf {R } } )\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} ),

que corresponde exactamente a la afirmación del teorema.

Véase también

Literatura

N. Ashcroft, N. Mermín. Física del estado sólido. Volumen 1. Capítulo 8.