Teorema de Borsuk-Ulam

El teorema de Borsuk-Ulam es un teorema clásico de la topología algebraica , que establece que cualquier función continua que mapea una esfera bidimensional en un espacio euclidiano bidimensional para algún par de puntos diametralmente opuestos tiene un valor común. De manera informal, la declaración se conoce como el "Teorema de la temperatura y la presión": en un momento dado, hay puntos antípodas en la superficie de la Tierra con la misma temperatura y la misma presión [1] ; el caso unidimensional generalmente se ilustra mediante dos puntos diametralmente opuestos del ecuador con la misma temperatura. $norte$ $norte$

Lyusternik y Shnirelman encuentran la declaración por primera vez en un artículo de 1930 [2] [3] ; la primera prueba es publicada en 1933 por Borsuk , quien cita a Ulam como autor de la formulación.

Redacción

Para una función continua , donde es una esfera en el espacio euclidiano bidimensional , hay dos puntos diametralmente opuestos tales que . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\mathbb S}^{n}$ $(n+1)$ ${\displaystyle a,-a\in \mathbb {S} ^{n))$ ${\ estilo de visualización f (a) = f (-a)}$

Variaciones y generalizaciones

Un enunciado equivalente es el teorema del cero común : cualquier función continua impar (con respecto al opuesto diametral) desde una esfera bidimensional hasta un espacio euclidiano bidimensional se anula en uno de los puntos: . La equivalencia se establece introduciendo una función impar por una función continua . En el caso unidimensional, el teorema del cero común se sigue directamente del teorema del valor intermedio ; la prueba general usa el isomorfismo de Gurevich (variante algebraico-topológica), o se deriva del lema de Tucker ( variante combinatoria ; el lema de Tucker se considera un análogo combinatorio del teorema de Borsuk-Ulam). ${\displaystyle g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $norte$ $norte$ $a\en \mathbb {S} ^{n}$ ${\ estilo de visualización g (a) = 0}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $g(x)=f(x)-f(-x)$

En 1954, Abram Ilyich Fet generalizó el resultado [4] : la afirmación del teorema se cumple no solo para la relación de las antípodas, sino también para una involución arbitraria de una esfera adimensional, es decir, para cualquier involución y cualquier continuo función hay tal punto que [5] [ 6] . $norte$ ${\displaystyle ^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n))$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $a\en \mathbb {S} ^{n}$ $f(a)=f(a^{*})$

Notas

↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Topología elemental . - MCMNO, 2010. - 352 p. - ISBN 978-5-94057-587-0 . Archivado el 19 de febrero de 2012 en Wayback Machine .
↑ L. A. Lyusternik, L. G. Shnirelman. Métodos topológicos en problemas variacionales // Actas del Instituto de Matemáticas y Mecánica de la Universidad Estatal de Moscú (número especial). — 1930.
↑ Jiri Matousek. Usando el teorema de Borsuk-Ulam. - Berlín: Springer Verlag, 2003. - ISBN 3-540-00362-2 . -doi : 10.1007 / 978-3-540-76649-0 .
↑ Kerin - Nudelman, 1983 , el matemático soviético A. Fet, utilizando medios sutiles y fuertes de topología, descubrió que el teorema de Borsuk-Ulam (incluso en su versión -dimensional) sigue siendo válido si se da una involución arbitraria en la esfera , p. 25 $norte$ $S$ $P\to P'$
↑ A. I. Fet. Una generalización del teorema de Lyusternik-Shnirelman sobre cubiertas de esferas y algunos teoremas relacionados // Dokl . - 1954. - T. 95 , N º 6 . Archivado desde el original el 25 de enero de 2020.
↑ A. I. Fet. Mapeos involutivos y cubiertas de esferas // Actas del seminario sobre análisis funcional. - Universidad de Voronezh , 1955. - Edición. 1 .

Literatura

K. Borsuk. Drei Sätze über die -dimensionale euklidische Sphäre (alemán) // Fondo. Matemáticas.. - 1933. - Bd. 20 _ - S. 177-190 . $norte$
FE Su. El teorema de Borsuk-Ulam implica el teorema del punto fijo de Brouwer Borsuk—Ulam implica Brouwer: una construcción directa // Amer . Matemáticas. Mensual. - 1997. - vol. 104 . - Pág. 855-859 .
M. Crane , A. Nudelman . El teorema de Borsuk-Ulam, o algo sobre el clima, un caballo entrenado y campos bidimensionales // Kvant . - 1983. - Nº 8 . - S. 20-25 .