Teorema de Descartes (geometría)

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El teorema de Descartes establece que para cualesquiera cuatro círculos mutuamente tangentes , los radios de los círculos satisfacen alguna ecuación cuadrática . Al resolver esta ecuación, puedes construir un cuarto círculo que sea tangente a los otros tres círculos dados. El teorema lleva el nombre de René Descartes , quien lo formuló en 1643.

Historia [1]

Los problemas geométricos sobre círculos tangentes se han discutido durante miles de años. En la antigua Grecia, en el siglo III a. C., Apolonio de Perge dedicó un libro completo a este tema. Desafortunadamente, el libro, que se llamó On Touch , no sobrevivió, ya que murió en el incendio de la Biblioteca de Alejandría .

René Descartes discutió el problema brevemente en 1643 en una carta a la Princesa Isabel de Bohemia . Llegó exactamente a la misma solución que se da a continuación en la ecuación (1) y, por lo tanto, ingresó su nombre en el teorema.

Frederick Soddy redescubrió la ecuación en 1936. Los círculos tangentes en este problema a veces se denominan círculos de Soddy , posiblemente porque Soddy eligió publicar su versión del teorema como un poema titulado The Kiss Precise , que se publicó en Nature (20 de junio de 1936). Soddy generalizó el teorema a las esferas. Thorold Gosset generalizó el teorema a dimensiones arbitrarias [2] .

Historia antigua

Opinión de Igor Sharygin [3] : Durante la mayor parte del período Edo (1603-1867), Japón estuvo casi completamente aislado del mundo occidental y se desarrolló a su manera, sin la influencia de las civilizaciones occidentales. Sin embargo, esto no impidió el desarrollo de la ciencia japonesa, en particular de las matemáticas. La geometría floreció especialmente. Los japoneses creían que el arte de la geometría agradaba a Dios. Los representantes de todas las clases la apreciaban, desde campesinos hasta samuráis. Representaron sus descubrimientos y teoremas con pinturas de colores brillantes en tableros (sangaku) y los colgaron en templos (principalmente sintoístas, con menos frecuencia budistas) y tumbas. Estos tableros eran tanto una ofrenda a una deidad venerada como una “publicación” del autor sobre su hermoso descubrimiento. Las explicaciones verbales eran casi inexistentes. El autor parecía decir: “¡Mira y, si puedes, demuéstralo!”... Los hermosos problemas y teoremas recogidos en el libro “Geometría del Templo Japonés” son una especie de “cálculo circular”, “himno circular”. Entre ellas encontramos no solo la fórmula de Soddy, sino también su generalización al caso tridimensional. La primera mención de la relación entre los radios de los círculos apareció en un tablero (sangaku) en 1796 en la prefectura de Tokio, la prueba completa se publicó en 1830. Curiosamente, un ejemplo que muestra la relación entre los radios de cinco esferas contiguas se describió en un tablero encontrado en el mismo lugar y luego perdido, ya en 1785. A mediados del siglo XIX, se publicó en Japón una prueba completa de la "fórmula generalizada para cinco bolas contiguas"...

Definición de curvatura

El teorema de Descartes se expresa de manera más simple en términos de la curvatura de los círculos. La curvatura de un círculo se define como , donde r es su radio. Cuanto mayor sea el círculo, menor será su curvatura , y viceversa. ${\ estilo de visualización k = \ pm \ 1/r}$

El signo más en k = ±1/ r se coloca si el círculo tiene tangencia externa a otro círculo, como los tres círculos negros de la figura. Para los círculos que se tocan internamente , como un gran círculo rojo en la figura, que describe al resto de los círculos, se pone un signo menos.

Si asumimos que una línea recta es un círculo degenerado con curvatura cero (y por lo tanto con un radio infinito), el teorema de Descartes también se aplica a una línea recta y dos círculos que se tocan a pares. En este caso, el teorema da el radio del tercer círculo que toca los otros dos y la línea.

Si cuatro círculos se tocan en seis puntos diferentes y los círculos tienen curvaturas k i (para i = 1, …, 4), el teorema de Descartes establece [4] :

(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{ 3}^{2}+k_{4}^{2}).

(una)

Si tratas de encontrar el radio del cuarto círculo tangente a tres círculos que se tocan entre sí, la ecuación se escribe mejor como:

k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{ una}}}.

(2)

El signo ± refleja el hecho de que en el caso general hay dos soluciones. Si excluimos el caso degenerado de una línea recta, una solución es positiva, mientras que la otra puede ser positiva o negativa. Si la solución es negativa, representa un círculo que describe los tres primeros (como se muestra en la figura).

Ocasiones especiales

Si uno de los círculos se reemplaza por una línea recta, entonces uno de los números k i , digamos k 3 , será cero y se eliminará de la ecuación (1). La ecuación (2) se vuelve mucho más simple:

k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.

(3)

Si dos círculos se reemplazan por líneas rectas, la tangencia entre los dos círculos se reemplaza por el paralelismo de dos líneas rectas. Los otros dos círculos restantes deben ser iguales. En este caso, con k 2 = k 3 = 0, la ecuación (2) se vuelve trivial

\displaystyle k_{4}=k_{1}.

Es imposible reemplazar los tres círculos con líneas, ya que un círculo y tres líneas no pueden tocarse en pares. El teorema de Descartes tampoco se aplica al caso en que los cuatro círculos se tocan en un punto.

Otro caso especial es cuando k i son cuadrados,

(v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{4 }+z^{4})

Euler demostró que es equivalente a una terna de ternas pitagóricas ,

(2vx)^{2}+(2yz)^{2}=\,(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}

(2vy)^{2}+(2xz)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}

(2vz)^{2}+(2xy)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}

y se puede dar una representación paramétrica . Si elegimos el signo negativo de la curvatura,

(-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{ 4}+z^{4})

la ecuación se puede representar como una solución paramétrica bien conocida [5] ,

[v,x,y,z]=\,[2(ab-cd)(ab+cd),(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) (a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),2(ac- bd)(b^{2}+d^{2})]

dónde

a^{4}+b^{4}=\,c^{4}+d^{4}

Teorema complejo de Descartes

Para definir un círculo por completo, necesita conocer no solo su radio (o curvatura), sino también su centro. La ecuación correspondiente se escribe mejor cuando las coordenadas ( x , y ) se representan como un número complejo z = x + i y . Entonces, la ecuación se parece a la ecuación del teorema de Descartes y, por lo tanto, se denomina teorema complejo de Descartes .

Si se dan cuatro círculos con curvaturas k i y centros z i ( i = 1…4), además de la igualdad (1), se cumple la siguiente igualdad:

(k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1} ^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4 }^{2}z_{4}^{2}).

(cuatro)

Después de encontrar k 4 usando la ecuación (2), puede comenzar a calcular z 4 cambiando la ecuación (4) a una forma similar a (2):

z_{4}={\frac {z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}\pm 2{\raíz cuadrada {k_{1}k_{2} z_{1}z_{2}+k_{2}k_{3}z_{2}z_{3}+k_{1}k_{3}z_{1}z_{3}}}}{k_{4} }}.

Nuevamente, en general, hay dos soluciones para z 4 correspondientes a dos soluciones para k 4 .

Generalizaciones

La generalización para el espacio n-dimensional a veces se denomina teorema de Soddy-Gosse , aunque esto ya lo hizo en 1886 R. Lachlan. En el espacio euclidiano n - dimensional , el número máximo de esferas dimensionales ( n - 1) mutuamente tangentes es n + 2. Por ejemplo, en el espacio tridimensional, cinco esferas pueden tocarse mutuamente. Las curvaturas de las hiperesferas satisfacen la ecuación

\left(\sum_{{i=1}}^{{n+2}}k_{i}\right)^{2}=n\,\sum_{{i=1}}^{{n +2}}k_{i}^{2}

y el caso k i = 0 corresponde a un hiperplano, al igual que en el caso bidimensional.

Aunque no existen análogos tridimensionales de los números complejos, la relación entre las ubicaciones de los centros se puede representar en forma de ecuaciones matriciales [6] .

Véase también

círculo de vado
Cuadrícula de Apolonio
Seis esferas de Soddy
Rectas tangentes a un círculo
Punto isoperimétrico

Notas

↑ Barabanov O. O., Barabanova L. P. Historia del teorema del círculo de Descartes // Historia de la ciencia y la tecnología , No. 5, 2011. - P. 2-15
↑ Lagarias JC, Mallows CL, Wilks AR Más allá del teorema del círculo de Descartes. arXiv matemáticas M.G. enero de 2001// arXiv:math/0101066v1 [math.MG] 9 de enero de 2001// arxiv.org›pdf/math/0101066.pdf
↑ Vasilenko A. A. SERENATA A LAS MATEMÁTICAS (enlace inaccesible) / MATEMÁTICAS. ¡TODO PARA EL MAESTRO! N° 9 (21)|septiembre 2012 °C. 45-46.
↑ La fórmula (1) a veces se denomina teorema de Soddy . Le dedicó un breve poema.
↑ Una colección de identidades algebraicas: sumas de tres o más cuartas potencias . Consultado el 16 de marzo de 2015. Archivado desde el original el 17 de abril de 2018. (indefinido)
↑ Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks. Más allá del teorema del círculo de Descartes // The American Mathematical Monthly. - Abril 2002. - T. 109 , núm. 4 . — S. 338–361 . — .

Enlaces

Applet interactivo que muestra cuatro círculos tangentes entre sí en el corte del nudo
El Beso Preciso
XScreenSaver: Capturas de pantalla :: Un hack de pantalla XScreenSaver visualiza el teorema de Descartes, en hack "apollónico".
Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: más allá del teorema del círculo de Descartes
Sharygin I. F., Shtorgin M. I. ¿Quién descubrió la fórmula de Soddy? Matemáticas en la escuela No. 02-03. 1992. S.31-33