Teorema del punto fijo de Kakutani
El teorema del punto fijo de Kakutani es una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer a funciones multivaluadas.
Redacción
Sea un subconjunto convexo compacto no vacío del espacio euclidiano . Sea una función multivaluada en , tal que el conjunto no es vacío y es convexo para todo , y tiene un gráfico cerrado, es decir, el conjunto
es cerrado en la topología de producto directo . Entonces tiene un punto fijo , es decir, existe un punto tal que .
Nota
El siguiente ejemplo muestra que el requisito de que los conjuntos sean convexos es esencial.
Fijemos un número positivo suficientemente pequeño y consideremos la función
![{\displaystyle \varphi (x)=\{\,y\in [0,1]\mid |xy|\geq \varepsilon \,\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18803ac383d33df70b75f7be7e89de2373d8ca22)
definido en el segmento . Tenga en cuenta que el conjunto no es convexo y esta función no tiene un punto fijo, aunque satisface todos los demás requisitos del teorema.
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
Acerca de la evidencia
- El teorema de Kakutani se puede reducir al teorema de Brouwer por aproximación .
- El teorema de Kakutani se puede derivar del lema de Sperner de manera similar al teorema de Brouwer.
Historia
El teorema fue probado por Shizuo Kakutani en 1941, [1] para probar el teorema minimax en un juego antagónico .
Fue utilizado por John Nash para demostrar la existencia del equilibrio de Nash en el famoso artículo de dos páginas [2] que le valió el Premio Nobel de Economía .
Notas
- ↑ Kakutani, Shizuo . Una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer (indefinido) // Duke Mathematical Journal. - 1941. - T. 8 , N º 3 . - S. 457-459 . -doi : 10.1215/ S0012-7094-41-00838-4 .
- ↑ Nash, JF, Jr. Puntos de equilibrio en juegos de N personas (inglés) // Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América : revista. - 1950. - Vol. 36 , núm. 1 . - Pág. 48-49 . -doi : 10.1073/ pnas.36.1.48 . —PMID 16588946 .
Enlaces
- Vorobyov N. N. Fundamentos de la teoría de juegos . juegos no cooperativos. — M.: Nauka , 1984.
- Savvateev A. V. Teoremas básicos de la teoría de juegos // Seminario de todos los institutos "Coloquio de MIAN" 4 de diciembre de 2014 16:00, Moscú, sala de conferencias de MIAN (calle Gubkina, 8).