Teorema del punto fijo de Brouwer

El teorema del punto fijo de Brouwer es un importante teorema del punto fijo aplicable a aplicaciones continuas en espacios de dimensión finita y es la base de algunos teoremas más generales.

Historia

La prioridad en el descubrimiento del teorema pertenece a Piers Georgievich Bol : en su obra de 1904 [1] formuló y demostró un teorema equivalente al teorema del punto fijo y describió la aplicación de este teorema a la teoría de ecuaciones diferenciales [2] . Sin embargo, su resultado no se vio. En 1909 Brouwer redescubrió este teorema para el caso . $n=3$

Redacción

El teorema generalmente se formula de la siguiente manera: cualquier aplicación continua de una bola cerrada en sí misma en un espacio euclidiano de dimensión finita tiene un punto fijo.

Con más detalle, considere una bola cerrada en un espacio de n dimensiones . Sea un mapeo continuo de esta pelota en sí misma (no necesariamente estrictamente dentro de sí misma, no necesariamente biyectiva , es decir, ni siquiera necesariamente sobreyectiva ). Entonces hay un punto tal que . $B^{n}\subconjunto {\mathbb R}^{n}$ $f\dos puntos B^{n}\a B^{n}$ $x\en B^{n}$ $f(x)=x$

Prueba

Del cálculo de los grupos de homología u homotopía de la esfera y la pelota, se sigue que no hay retracción de la pelota hasta su límite.

Sea ahora un mapeo de la pelota en sí misma, que no tiene puntos fijos. Construyamos sobre esta base la retracción de la bola hasta su límite. Para cada punto , considere la línea que pasa por los puntos y (es única, ya que se supone que no hay puntos fijos). Sea el punto de intersección de esta línea con el límite de la pelota, y quede entre y . Es fácil ver que el mapa es una retracción de la pelota hacia su límite. Contradicción. $f\dos puntos B^{n}\a B^{n}$ $X$ $X$ $f(x)$ $y$ $X$ $f(x)$ $y$ $x\mapas a y$

Variaciones y generalizaciones

Teorema del punto fijo de Kakutani
del punto fijo de Schauder generalización del teorema de Brouwer al caso de conjuntos compactos convexos en espacios de Banach .
El teorema de Schauder-Tikhonov es una generalización del teorema de Schauder al caso de espacios vectoriales topológicos localmente convexos .
El lema de Sperner es un análogo combinatorio del teorema de Brouwer.

Consecuencias

Notas

↑ Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
↑ A. D. Myshkis, I. M. Rabinovich. La primera prueba del teorema del punto fijo para un mapeo continuo de una pelota en sí misma, dada por el matemático letón P.G. - Academia Rusa de Ciencias , 1955. - T. 10 , No. 3 . - S. 188-192 . (Ruso)

Literatura

Shashkin Yu. A. Puntos fijos . — M .: Nauka, 1989. — 80 p. - ( Clases populares de matemáticas ). - 92.000 ejemplares.

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4226759-6