Teorema de Courant-Fischer

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El teorema de Courant-Fischer es un teorema sobre una propiedad de un operador hermitiano en un espacio de funciones de Hilbert . También llamado teorema minimax [1] .

Redacción

\lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{( x,x)}}

A

es un operador autoadjunto lineal que actúa en un espacio real o complejo de dimensión finita ,

S

- sola esfera

{\displaystyle e=e_{1}\dots e_{n))

es una base ortonormal del espacio , que consta de los vectores propios del operador ,

V

A

\lambda_k

es el -ésimo valor propio del operador , y

k

A

{\ estilo de visualización \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ puntos \ leq \ lambda _ {n}}

L_{k}

— -subespacio dimensional de .

k

V

Prueba

$p=n-k+1$ , — subespacio dimensional de , — intervalo lineal de vectores . . De donde se sigue que . Sea y . Desde entonces _ Por otra parte , desde
$L_{k}$ $k$ $V$
$W_{n-k+1}$ ${\displaystyle e_{k}\puntos e_{n))$
$\dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1$
${\displaystyle L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnada))$ $x_{0}\en L_{k}\cap W_{n-k+1}$ ${\ estilo de visualización \ \|x_{0}\|=1}$
$\lambda _{k}=\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x),$ ${\frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}\leq \lambda_{k}$
$x_{0}\en L_{k}$