Teorema de Cayley (teoría de grupos)

En teoría de grupos , el teorema de Cayley establece que cualquier grupo finito es isomorfo a algún subgrupo del grupo de permutación del conjunto de elementos de ese grupo. En este caso, cada elemento se compara con la permutación dada por la identidad donde g es un elemento arbitrario del grupo G. $(G,\circ )$ $a \ en G$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}(g)=a\circ g,$

Prueba

Sea un grupo finito de orden . Necesitamos construir un isomorfismo desde el subgrupo de permutación . Para ello basta con asociar a cada elemento g del grupo G una permutación de elementos del mismo G (se puede identificar una permutación de G con una permutación de cualquier otro conjunto mediante una correspondencia biunívoca de sus elementos) . En otras palabras, necesita construir una función , donde hay una colección de permutaciones de G. El grupo se determina usando la multiplicación de la izquierda . $GRAMO$ $norte$ $GRAMO$ $S_{n}$ ${\ estilo de visualización \ varphi: G \ flecha derecha S_ {G}}$ ${\ estilo de visualización S_ {G}}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (g): G \ flecha derecha G}$ ${\ estilo de visualización (\ varphi (g)) (x) = gx}$

Probemos que hemos obtenido una permutación. Si , entonces , dado que G es un grupo, en particular, todos sus elementos son invertibles (existe ). Además, la acción sobre un elemento del grupo x es igual y este es igual en vista de la asociatividad de G. Finalmente, si entonces entonces y por tanto es inyectiva (1-1). $gx=gy$ $x=y$ $g^{{-1}}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (gh)}$ ${\ estilo de visualización \ (\ varphi (gh)) (x) = (gh) x}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (g) (\ varphi (h) (x)) = \ varphi (g) (hx) = g (hx)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (g) = \ varphi (h)}$ $g=\varphi (g)(1)=\varphi (h)(1)=h$ $\varphi$

Ejemplo

Considere un grupo con una operación dada Encuentre su mapeo en eso es, encuentre un subgrupo isomorfo ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ ${\ estilo de visualización +.}$ ${\ estilo de visualización S_ {4},}$ ${\ estilo de visualización S_ {4},}$ $GRAMO.$

Definamos el mapeo ${\ estilo de visualización \ varphi: \ mathbb {Z} _ {4} \ flecha derecha S_ {4}}$

\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}

\varphi (1)={\begin{bmatriz}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatriz}}

\varphi (2)={\begin{bmatriz}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatriz}}

\varphi (3)={\begin{bmatriz}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatriz}}

En esta construcción, la permutación de cada establece la "tabla de sumar" con el número . Por ejemplo, el número 2 en va a la suma (operación de grupo ) 2 (este número en sí) y 1 (el elemento del grupo para el que se determina la permutación). Así, define el mapeo de identidad . $\varfi (n)$ $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ varphi (1)}$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ ${\ estilo de visualización \ varphi (0)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {id} _ {G} (g) = g}$

El mapeo es un homomorfismo . Por ejemplo, . De las propiedades del homomorfismo, en particular, se sigue que el conjunto de permutaciones resultantes forman un grupo. $\varphi$ ${\ estilo de visualización \ varphi (1) ^ {2} = \ varphi (2) = \ varphi (1 + 1)}$

Literatura

Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Aleksandrov PS Introducción a la teoría de grupos. Biblioteca cuántica. Tema. 7. M.: Nauka, 1980.