Teorema de continuidad de Levi

El teorema de Levi en la teoría de la probabilidad es un resultado que vincula la convergencia puntual de las funciones características de las variables aleatorias con la convergencia de estas variables aleatorias en la distribución .

Redacción

Sea una secuencia de variables aleatorias no necesariamente definidas en el mismo espacio de probabilidad . Denotemos la función característica de la variable aleatoria , donde , por el símbolo . Entonces si por distribución en , y es la función característica de , entonces $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X_n$ $n\en \mathbb {N}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} (t)}$ $X_{n}\a X$ $n\to\infty$ $\varfi (t)$ $X$

\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R}

Por el contrario, si , donde es una función de un argumento real continua en cero, entonces es una función característica de alguna variable aleatoria y $\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización \ varphi \ en C (0)}$ $\varfi (t)$ $X$

X_{n}\a X

por distribución en .

n\to\infty

Nota

Dado que la función característica de cualquier variable aleatoria es continua en cero, la segunda afirmación tiene la siguiente consecuencia trivial. Si , donde es la función característica de , y es la función característica de , entonces según la distribución en . El uso de este hecho para probar la convergencia en la distribución a veces se llama el método de las funciones características . El método de las funciones características es la forma estándar de probar el Teorema del Límite Central clásico . $\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} (t)}$ $X_n$ $\varfi (t)$ $X$ $X_{n}\a X$ $n\to\infty$

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Véase también