Teorema de linnik

El teorema de Linnik es un enunciado de la teoría de números , que es un refuerzo del teorema de Dirichlet sobre los números primos en progresión aritmética . El teorema da un límite superior al valor de los números cuya existencia se prueba mediante el teorema de Dirichlet.

El teorema fue probado por Yuri Linnik en 1944.

Para la demostración se utilizó el aparato matemático de caracteres y funciones de Dirichlet , típico para problemas relacionados con números primos en progresiones aritméticas infinitas [1] [2] .

Redacción

Para números coprimos , denotar por el número mínimo en la progresión de la forma que es primo . ${\ estilo de visualización a, d}$ ${\ estilo de visualización (a < d)}$ ${\ estilo de visualización p (a, d)}$ $a+nd,n=0,1,2,\dots$

Hay constantes absolutas tales que para cualquier coprimo , ${\ estilo de visualización c, L}$ ${\ estilo de visualización a, d}$ ${\ estilo de visualización (a < d)}$ ${\displaystyle p(a,d)<cd^{L))$

Otras propiedades e hipótesis

De la hipótesis de Riemann generalizada se seguiría que

{\displaystyle p(a,d)\leq \varphi (d)^{2}{(\ln d)}^{2))

donde es la función de Euler . $\varphi$

También hay una hipótesis de que ${\displaystyle p(a,d)<d^{2))$

Mejora en las puntuaciones L

El exponente en la estimación a veces se denomina constante de Linnik . Aunque el primer trabajo de Linnik mostró que esta constante es efectivamente computable , no se intentó calcular su valor exacto en el trabajo. Posteriormente, la constante de Linnik se mejoró muchas veces. A continuación se muestra la historia de estas mejoras. $L$ ${\displaystyle p(a,d)<cd^{L))$

L≤	año de publicación	Autor
10000	1957	Pan Chengdong [3]
5448	1958	Pan Cheng-dong
777	1965	Chen Jinrun [4]
630	1971	matti jutila
550	1970	Matti Jutila [5]
168	1977	Chen Jinrun [6]
80	1977	Matti Jutila [7]
36	1977	Sydney Graham [8]
veinte	1981	Sídney Graham [9]
17	1979	Chen Jinrun [10]
dieciséis	1986	Wong
13.5	1989	Chen Jingrun y Liu [11] [12]
ocho	1990	Wong [13]
5.5	1992	Heath-Brown [14]
5.18	2009	Xilouris [15]
5	2011	Xilouris [16]

Véase también

Teorema de Dirichlet sobre números primos en progresión aritmética

Notas

↑ Linnik, Yu. V. Sobre el menor primo en una progresión aritmética I. El teorema básico (inglés) // Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) NS: diario. - 1944. - vol. 15 , núm. 57 . - pág. 139-178 . Archivado desde el original el 29 de enero de 2020.
↑ Linnik, Yu. V. Sobre el menor primo en una progresión aritmética II. El fenómeno Deuring-Heilbronn (inglés) // Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) NS: diario. - 1944. - vol. 15 , núm. 57 . - Pág. 347-368 . Archivado desde el original el 29 de enero de 2020.
↑ Pan, Chengdong. Sobre el menor primo en una progresión aritmética (neopr.) // Sci. Registro (NS). - 1957. - T. 1 . - S. 311-313 .
↑ Chen, Jinrun. Sobre el menor primo en una progresión aritmética (neopr.) // Sci. Sínica. - 1965. - T. 14 . - S. 1868-1871 .
↑ Jutila, Matti. Una nueva estimación para la constante de Linnik (indefinida) // Ann. Academia ciencia Fenn. Ser. AI No.. - 1970. - T. 471 .
↑ Chen, Jinrun. Sobre el menor primo en una progresión aritmética y dos teoremas relacionados con los ceros de las funciones $L$ de Dirichlet // Sci . Sínica: diario. - 1977. - vol. 20 , núm. 5 . - pág. 529-562 .
↑ Jutila, Matti. Sobre la constante de Linnik (indefinida) // Math. Scand.. - 1977. - T. 41 , No. 1 . - S. 45-62 .
↑ Graham, Sydney West (1977). Aplicaciones de los métodos de tamizado (Ph.D.). Ann Arbor, Michigan: Universidad. Michigan. MR 2627480 .
↑ Graham, SW Sobre la constante (indefinida) de Linnik // Acta Arith.. - 1981. - T. 39 , N º 2 . - S. 163-179 .
↑ Chen, Jinrun. Sobre el menor primo en una progresión aritmética y teoremas sobre los ceros de las funciones $L$ de Dirichlet. II (inglés) // Ciencia. Sínica: diario. - 1979. - vol. 22 , núm. 8 _ - P. 859-889 .
↑ Chen, Jinrun; Liu, Jian Min. En el menor primo de una progresión aritmética. III (inglés) // Ciencia. Ser. de China Un diario. - 1989. - vol. 32 , núm. 6 _ - Pág. 654-673 .
↑ Chen, Jinrun; Liu, Jian Min. En el menor primo de una progresión aritmética. IV (inglés) // Ciencia. Ser. de China Un diario. - 1989. - vol. 32 , núm. 7 . - Pág. 792-807 .
↑ Wang, Wei. Sobre el menor primo en una progresión aritmética // Acta Mathematica Sinica, Nueva Serie : diario. - 1991. - vol. 7 , núm. 3 . - pág. 279-288 .
↑ Heath Brown, Roger. Regiones libres de cero para las funciones L de Dirichlet y el menor número primo en una progresión aritmética // London Mathematical Society : revista . - 1992. - vol. 64 , núm. 3 . - pág. 265-338 . -doi : 10.1112 / plms/s3-64.2.265 .
↑ Xyluris, Triantafyllos. Sobre la constante de Linnik (neopr.) // Acta Arith.. - 2011. - T. 150 , N º 1 . - S. 65-91 . -doi : 10.4064 / aa150-1-4 .
↑ Xyluris, Triantafyllos (2011). Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression [ Los ceros de las funciones L de Dirichlet y el menor primo en una progresión aritmética ] (Tesis para optar al grado de Doctor en Matemáticas y Ciencias Naturales) [ Alemán. ]. Bonn: Universität Bonn, Mathematisches Institut. MR 3086819 .