Hipótesis de Riemann generalizadas

La Hipótesis de Riemann es una de las hipótesis más importantes de las matemáticas . Una conjetura es una afirmación sobre los ceros de la función zeta de Riemann . Varios objetos geométricos y aritméticos se pueden describir mediante las llamadas funciones L globales , que son formalmente similares a la función zeta de Riemann. Entonces se puede hacer la misma pregunta sobre las raíces de estas funciones L , lo que da diferentes generalizaciones de la hipótesis de Riemann. Muchos matemáticos creen que estas generalizaciones de la Hipótesis de Riemann son correctas . El único caso en que se demostró tal conjetura fue en el campo algebraico de funciones (no en el caso del campo de números).

Las funciones L globales se pueden asociar con curvas elípticas , campos numéricos (en cuyo caso se denominan funciones zeta de Dedekind ), formas parabólicas de Maass y caracteres de Dirichlet (en cuyo caso se denominan funciones L de Dirichlet ). Cuando la hipótesis de Riemann se formula para las funciones zeta de Dedekind , se denomina hipótesis de Riemann extendida (RHR), y cuando se formula para las funciones L de Dirichlet , se conoce como hipótesis de Riemann generalizada (GRH). Estas dos afirmaciones se analizan con más detalle a continuación. Muchos matemáticos usan el nombre hipótesis de Riemann generalizada para extender la hipótesis de Riemann a todas las funciones L globales, no solo al caso especial de las funciones L de Dirichlet .

Hipótesis de Riemann Generalizada (GRE)

La hipótesis de Riemann generalizada (para las funciones L de Dirichlet ) aparentemente fue formulada por primera vez por Adolf Piltz en 1884 [1] . Al igual que la hipótesis original de Riemann, la hipótesis generalizada tiene consecuencias de largo alcance para la distribución de los números primos .

Enunciado formal de la hipótesis . Un carácter de Dirichlet es una función aritmética completamente multiplicativa χ tal que hay un entero positivo k con χ( n + k ) = χ( n ) para todo n y χ( n ) = 0 si mcd( n , k ) > 1. Dado tal carácter, definimos la correspondiente función L de Dirichlet

{\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))))

para cualquier número complejo s con parte real > 1. Usando la continuación analítica , esta función se puede extender a una función meromórfica definida en todo el plano complejo. La hipótesis generalizada de Riemann establece que para cualquier carácter de Dirichlet χ y cualquier número complejo s con L(χ, s ) = 0, si un número real s está entre 0 y 1, entonces es, de hecho, igual a 1/2.

El caso χ( n ) = 1 para todo n da la hipótesis habitual de Riemann.

Consecuencias de la OGR

El teorema de Dirichlet establece que cuando a y d son números naturales coprimos , entonces la progresión aritmética a , a + d , a +2 d , a +3 d , … contiene infinitos números primos. Sea π( x , a , d ) el número de números primos en la progresión que son menores o iguales que x . Si la hipótesis generalizada de Riemann es verdadera, entonces para cualquier coprimo a y d y cualquier ε > 0

\pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\ ,dt+O(x^{1/2+\epsilon})

en ,

x\a\infty

donde φ( d ) es la función de Euler , y es "O" grande . Este es un fortalecimiento significativo del teorema de distribución de números primos . $O$

Si el OGR es verdadero, entonces cualquier subgrupo propio de un grupo multiplicativo no contiene un número menor que 2(ln n ) 2 , así como números relativamente primos a n y menores que 3(ln n ) 2 [2] . En otras palabras, generado por un conjunto de números menores que 2(ln n ) 2 . Este hecho se usa a menudo en demostraciones y de él se derivan muchos corolarios, por ejemplo (suponiendo que el GRE sea verdadero): ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times ))$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times ))$

Se garantiza que la prueba de Miller-Rabin se ejecuta en tiempo polinomial (una prueba de tiempo polinomial que no requiere ORT, la prueba de Agrawal-Kayal-Saxena , se publicó en 2002).
Se garantiza que el algoritmo de Gelfond-Shanks se ejecute en tiempo polinomial.
El algoritmo determinista de Ivanuos-Karpinski-Sahen [3] para expandir polinomios sobre campos finitos con grado primo n y suave n - 1 se ejecuta en tiempo polinomial.

Si el GRE es verdadero, entonces para cualquier primo p existe una raíz primitiva módulo p (generador del grupo multiplicativo de enteros módulo p ) menor que [4] . ${\ estilo de visualización O ((\ ln p) ^ {6}). \,}$

La conjetura débil de Goldbach también se deriva de la hipótesis generalizada de Riemann. La prueba de Harald Helfgott de esta conjetura confirma la GDE para varios miles de caracteres pequeños, lo que hizo posible probar la conjetura para todos los números enteros (impares) mayores que 10 29 . Para números enteros por debajo de este límite, la hipótesis fue probada por fuerza bruta [5] .

Suponiendo que el GDE es correcto, la estimación de la suma de caracteres en la desigualdad de Polya-Vinogradov se puede mejorar a , donde q es el valor absoluto del carácter. $O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$

Hipótesis de Riemann extendida (RHR)

Sea K un campo numérico (una extensión de dimensión finita del campo de los números racionales Q ) con un anillo de enteros O K (este anillo es el cierre entero de los enteros Z en K ). Si a es un ideal del anillo O K distinto del ideal cero, denotamos su norma por Na . La función zeta de Dedekind sobre K se define entonces como

{\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s))))

para cualquier número complejo s con parte real > 1.

La función zeta de Dedekind satisface una ecuación funcional y puede extenderse por continuación analítica a todo el plano complejo . La función resultante codifica información importante sobre el campo numérico K . La hipótesis de Riemann extendida establece que para cualquier campo numérico K y cualquier número complejo s para el cual ζ K ( s ) = 0, si la parte real del número s se encuentra entre 0 y 1, entonces es, de hecho, igual a 1 / 2.

La conjetura original de Riemann se deriva de la conjetura extendida si tomamos un cuerpo numérico Q con un anillo de números enteros Z.

Una versión efectiva [6] del teorema de densidad de Chebotarev sigue de RGR : si L / K es una extensión de Galois finita con un grupo de Galois G , y C es la unión de las clases laterales de G , el número de primos no ramificados ideales K con una norma por debajo de x c la clase lateral de Frobenius en C es

{\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x))(n\log x+\ registro |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},

donde la constante en notación O grande es absoluta, n es la potencia de L sobre Q y Δ es su discriminante.

Véase también

La hipótesis de Artin
Función L de Dirichlet
Clase Selberg
Hipótesis de Grand Riemann

Notas

↑ Davenport, 2000 , pág. 124.
↑ Bach, 1990 , pág. 355–380.
↑ Ivanyos, Karpinski, Saxena, 2009 , pág. 191–198.
↑ Shoup, 1992 , pág. 369–380.
↑ Helfgot, 2013 .
↑ Lagarias, Odlyzko, 1977 , p. 409–464.

Literatura

Lagarias JC, Odlyzko AM Versiones efectivas del teorema de Chebotarev // Campos numéricos algebraicos. - 1977. - S. 409-464 .
Eric Bach. Límites explícitos para pruebas de primalidad y problemas relacionados // Matemáticas de computación . - 1990. - T. 55 , núm. 191 . — S. 355–380 . -doi : 10.2307/ 2008811 . — .
Gabor Ivanyos, Marek Karpinski, Nitin Saxena. Esquemas para factorización polinomial determinista // Proc. ISAAC. - 2009. - S. 191-198 . — ISBN 9781605586090 . -doi : 10.1145/ 1576702.1576730 .
Helfgott HA Arcos mayores del teorema de Goldbach . - 2013. - arXiv : 1305.2897v3 .
Tienda Víctor. Buscando raíces primitivas en campos finitos // Matemáticas de Computación. - 1992. - vol. 58. - Emisión. 197 . — S. 369–380 . -doi : 10.2307/ 2153041 . — .
Harold Davenport. teoría de los números multiplicativos. - Tercera edición, Revisada y con prefacio de Hugh L. Montgomery . - Nueva York: Springer-Verlag, 2000. - T. 74. - P. xiv + 177. — (Textos de Posgrado en Matemáticas). — ISBN 0-387-95097-4 .

Lectura para leer más

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), hipótesis de Riemann, generalizada , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Funciones L en teoría de números
Ejemplos analíticos	Función zeta de Riemann L -Funciones de Dirichlet L -funciones de los caracteres Hecke Funciones L automórficas Clase Selberg
Ejemplos algebraicos	Funciones zeta de Dedekind Artin L -funciones Funciones L de Hasse-Weyl Motivo L -funciones
teoremas	Fórmula analítica para el número de clases Fórmula de Riemann-von Mangoldt Las hipótesis de Weil
Hipótesis analíticas	hipótesis de Riemann Hipótesis de Riemann generalizadas Hipótesis de Lindelöf hipótesis de Ramanujan la hipótesis de Artin
conjeturas algebraicas	Hipótesis de Birch-Swinnerton-Dyer La conjetura de Deligne Las hipótesis de Beilinson Conjetura de Bloch-Kato Hipótesis de Langlands
p - funciones L ádicas	La principal hipótesis de la teoría de Iwasawa Grupo Selmer sistema de Euler