El teorema de lucas

En matemáticas , el teorema de Lucas es el siguiente enunciado sobre el resto de dividir un coeficiente binomial por un número primo p : ${\tbinom {m}{n))$

{\binom {m}{n}}\equiv\prod_{{i=0}}^{{k-1}}({\binom {m_{i}}{n_{i}}}}{\ pmodp},

donde y son representaciones de los números m y n en el sistema numérico p -ario . $m=(m_{{k-1}},\puntos,m_{0})_{p}$ $n=(n_{{k-1}},\puntos,n_{0})_{p}$

En particular, el coeficiente binomial es divisible por un número primo p si y solo si al menos un dígito p -ario del número n excede el dígito correspondiente del número m . ${\tbinom {m}{n))$

El teorema fue derivado por primera vez por el matemático francés Edouard Lucas en 1878.

Prueba

Considere el coeficiente para en un polinomio sobre un campo finito . Por un lado, es simplemente igual a . Por otra parte, desde $x^n$ $(x+1)^{m}$ $FG(p)$ ${\tbinom {m}{n))$

(x+1)^{m}=\prod_{{i=0}}^{{k-1}}(x+1)^{{m_{i}p^{i}}}\equiv\ producción _{{i=0}}^{{k-1}}(x^{{p^{i}}}+1)^{{m_{i}}}{\pmod {p}},

entonces, para obtener el coeficiente de at del último producto , es necesario tomar el coeficiente de at del factor cero , el coeficiente de at del primero , y en el caso general, del -ésimo factor, el coeficiente de en . Igualando los coeficientes, obtenemos $x^n$ $x^{{n_{0}}}$ $x^{{n_{1}p}}$ $i$ $x^{{n_{i}p^{i}}}$

{\binom {m}{n}}\equiv\prod_{{i=0}}^{{k-1}}({\binom {m_{i}}{n_{i}}}}{\ pmod{p}}.

Literatura

E.Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques (francés) // American Journal of Mathematics : revista. - 1878. - Vol. 1 , nº 2 . _ - pág. 184-196 . -doi : 10.2307/ 2369308. (parte 1);
E.Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques (francés) // American Journal of Mathematics : revista. - 1878. - Vol. 1 , nº 3 . _ - pág. 197-240 . -doi : 10.2307/ 2369311. (parte 2);
E.Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques (francés) // American Journal of Mathematics : revista. - 1878. - Vol. 1 , nº 4 . _ - pág. 289-321 . -doi : 10.2307/ 2369373. (parte 3)
A. Granville. Propiedades aritméticas de los coeficientes binomiales I: Coeficientes binomiales módulo primos poderes (inglés) // Actas de la conferencia de la Sociedad Matemática Canadiense: revista. - 1997. - vol. 20 _ - Pág. 253-275 . Archivado desde el original el 2 de febrero de 2017.