Teorema de myers

El teorema de Myers es un teorema clásico en la geometría de Riemann .

Redacción

Si la curvatura de Ricci de una variedad riemanniana de dimensión completa está limitada por debajo por un valor positivo para algunos , entonces su diámetro no excede . Además, si el diámetro es , entonces la variedad misma es isométrica a una esfera de curvatura de sección constante . $norte$ $METRO$ ${\ estilo de visualización (n-1) k}$ $k$ ${\ estilo de visualización \ pi / {\ sqrt {k))}$ ${\ estilo de visualización \ pi / {\ sqrt {k))}$ $k$

Consecuencias

Este resultado sigue siendo válido para la cobertura universal de una variedad Riemanniana de este tipo . En particular, la cubierta universal tiene láminas finitas y, por lo tanto, el grupo fundamental es finito. $METRO$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} M}$

Historia

Para superficies bidimensionales, Hopf y Rinow demostraron el teorema. [una]

El teorema a veces lleva el nombre de Ossian Bonnet debido a su otro resultado sobre la clasificación de superficies con curvatura gaussiana positiva, [2] (este resultado no está directamente relacionado con el enunciado del teorema de Myers).

El teorema fue probado por Myers . [3]

El caso de igualdad en el teorema fue probado por Cheng en 1975. [cuatro]

Véase también

Teorema de compacidad de Gromov (geometría de Riemann)

Notas

↑ Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen differentgeometrischen Fläche. (Alemán) Comentario. Matemáticas. Helv. 3 (1931), núm. 1, 209-225.
↑ Bonnet, Ossian. "Sur quelques proprietes des lignes geodésiques". CR Acad. ciencia París 40 (1855): 1311-1313
↑ Myers, S. B. (1941), Variedades de Riemann con curvatura media positiva , Duke Mathematical Journal vol 8(2): 401–404 , DOI 10.1215/S0012-7094-41-00832-3
↑ Cheng, Shiu Yuen (1975), Teoremas de comparación de valores propios y sus aplicaciones geométricas , Mathematische Zeitschrift T. 143 (3): 289–297, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01214381