Teorema de la esfera de Reeb

Teorema de la esfera de Reeb : Deje que exista una foliación con singularidades en una variedad cerrada orientable conexa , todos los puntos singulares de los cuales están aislados y son centros. Entonces es homeomorfo a la esfera y la foliación tiene exactamente dos puntos singulares. $M^{n}$ $M^{n}$ $S^{n}$

El teorema fue probado en 1946 por el matemático francés Georges Ribe .

Foliación Morse

Un punto singular aislado de una foliación F se llama punto tipo Morse si en su vecindad pequeña todas las capas son niveles de alguna función Morse , y es en sí mismo un punto crítico de esta función.

Un punto singular de tipo Morse se llama centro si es un extremo local de la función; de lo contrario, se llama silla de montar .

Denote ind p = min( k , n − k ), el índice de singularidad , donde k es el índice del punto crítico correspondiente de la función de Morse. En particular, el centro tiene índice 0, el índice de silla es al menos 1. $pags$

Una foliación Morse F sobre una variedad M es una foliación especial orientada transversalmente de codimensión 1 de clase C 2 con singularidades aisladas, y:

todas las singularidades F de tipo Morse,
cada fibra singular L contiene sólo un punto singular p ; además, si ind p = 1 entonces está desconectado. $L\setminus p$

Sea c el número de centros de la foliación de Morse F , y sea el número de sus sillas de montar, resulta que la diferencia c − s está estrechamente relacionada con la topología de la variedad . $s$ $METRO$

Teorema de la esfera de Reeb

Considere el caso c > s = 0, es decir, todas las singularidades son centros, no hay sillas de montar.

Teorema: [1] Supongamos que en una variedad de dimensión cerrada orientada y conexa existe una foliación de codimensión 1 orientada transversalmente con un conjunto no vacío de puntos singulares aislados, todos los cuales son centros. Entonces la foliación tiene exactamente dos puntos singulares, y la variedad $M^{n}$ $n\geq 2$ $c ^ 1$ $F$ $F$ es homeomorfa a una esfera . $M^{n}$ $S^{n}$

Este hecho es una consecuencia del teorema de estabilidad de Reeb .

Variaciones y generalizaciones

Más general es el caso $c>s\geq 0.$

En 1978, E. Wagneur generalizó el teorema de la esfera de Reeb a las foliaciones de Morse con sillas de montar. Demostró que el número de centros no puede ser demasiado grande en comparación con el número de monturas, a saber, . Por lo tanto, hay exactamente dos casos en los que : $c\leq s+2$ $c>s$

(una)

{\ estilo de visualización c = s + 2,}

(2)

{\ estilo de visualización c = s + 1.}

Wagner también describió variedades en las que hay foliaciones que satisfacen el caso (1).

Teorema [2] : Sea una foliación de Morse con centros y sillas de montar en una variedad conexa compacta. entonces _ si , entonces $M^{n}$ $F$ $C$ $s$ $c\leq s+2$ $c=s+2$

$M^{n}$ homeomorfo a una esfera , $S^{n}$

todos los sillines tienen índice 1,

toda fibra no singular es difeomorfa a una esfera . $S^{{n-1}}$

Finalmente, en 2008, Camacho y Scardua (C. Camacho, B. Scardua) consideraron el caso (2), . Curiosamente, este caso solo es posible en algunas dimensiones. $c=s+1$

Teorema [3] : Sea una variedad conexa compacta y una foliación de Morse sobre . si , entonces $M^{n}$ $F$ $M^{n}$ $s=c+1$

$n=2,4,8$ o , $dieciséis$

$M^{n}$ es una variedad de Eales-Kuiper .

Enlaces

↑ G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. — CRAS París 222, 1946, págs. 847-849. [1] Archivado el 9 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
↑ E. Wagneur , Formes de Pfaff à singularités non dégénérées - Annales de l'institut Fourier, 28, N3, 1978, p. 165-176 [2] Archivado el 5 de junio de 2011 en Wayback Machine .
↑ C. Camacho, B. Scardua , Sobre foliaciones con singularidades en Morse. — Proc. amer Matemáticas. Soc., 136, 2008, pág. 4065-4073 [3]