Teorema de Riemann-Roch para superficies

El teorema de Riemann-Roch para superficies describe la dimensión de los sistemas lineales en una superficie algebraica . En la forma clásica, el teorema fue formulado por primera vez por Castelnuovo [1] después de las versiones preliminares de Max Noether [2] y Enriques [3] . La versión en términos de poleas se debe a Hirzebruch.

Enunciado del teorema

Una forma del teorema de Riemann-Roch establece que si D es un divisor de una superficie proyectiva no singular, entonces

\chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(NS)\,

donde χ es la característica holomorfa de Euler de , el símbolo de punto es el índice de intersección de y K es el divisor canónico. La constante χ(0) es la característica holomorfa de Euler del paquete trivial y es igual a 1 + pa, donde pa es el género aritmético [ en ] la superficie. A modo de comparación, el teorema de Riemann-Roch para una curva establece que . ${\ estilo de visualización \ chi (D) = \ chi (0) + grado (D)}$

Fórmula de Noether

La fórmula de Noether establece que

\chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}

donde χ=χ(0) es la característica holomorfa de Euler, es el número de Chern y el número de autointersecciones de la clase canónica K , y es la característica topológica de Euler. La fórmula se puede utilizar para reemplazar el término χ(0) en el teorema de Riemann-Roch en términos topológicos. Esto da el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch para superficies. $c_{1}^{2}=(KK)$ $e=c_{2}$

Conexión con el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Para superficies El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema de Riemann-Roch para superficies combinado con las fórmulas de Noether. Para ver esto, recordemos que para cualquier divisor D en la superficie existe un haz invertible L = O( D ) tal que el sistema lineal del divisor D es más o menos el espacio de secciones de L . Para superficies, la clase Todd es , y el carácter Chern del haz L es simplemente . Así, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch establece que ${\ estilo de visualización 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$ ${\ estilo de visualización 1 + c_ {1} (L) + c_ {1} (L) ^ {2}/2}$

{\begin{alineado}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac { 1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac{1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac{1 }{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{alineado}}

Afortunadamente, la fórmula se puede reescribir en una forma más clara de la siguiente manera. En primer lugar, haciendo D = 0, obtenemos que

\chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)

(Fórmula de Noether)

Para poleas reversibles (haces de líneas), la segunda clase de Chern es cero. Los productos de las segundas clases de cohomología se pueden identificar con los números de intersección en el grupo de Picard , y obtenemos una versión más clásica del teorema de Riemann-Roch para superficies:

\chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2))(DD-NS)

Si lo desea, podemos usar la dualidad de Serre para expresar como , pero, a diferencia del caso de las curvas, generalmente no hay una manera fácil de escribir el término en una forma que no use la cohomología de gavilla (aunque, en la práctica, a menudo desaparece) . $h^{2}(\mathrm {O} (D))$ $h^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $h^{1}(\mathrm {O} (D))$

Primeras versiones

Las formas más tempranas del teorema de Riemann-Roch para superficies a menudo se formularon como desigualdades en lugar de igualdades, ya que no había una descripción geométrica directa de los primeros grupos de cohomología. Un ejemplo típico de la formulación fue dado por Zariski [4] , que establece

r\geqslant n-\pi +p_{a}+1-i

dónde

r es la dimensión del sistema lineal completo | D | divisor D (así que ) $r=h^{0}(\mathrm {O} (D))-1$
n es el grado virtual del divisor D , dado por el número de autointersecciones ( D . D )
π es el género virtual del divisor D , igual a 1 + (DD + KD)/2
p a - género aritmético de la superficie ${\ estilo de visualización \ chi (\ mathrm {O} _ {F}) -1}$
i es el índice de especificidad del divisor D , igual (que, según la dualidad de Serra, es igual a ). $dimH^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $dimH^{2}(\mathrm {O} (D))$

La diferencia de las dos partes de esta desigualdad se llama redundancia s del divisor D . La comparación de esta desigualdad con la versión del teorema de Riemann-Roch con poleas muestra que la redundancia del divisor D viene dada por la igualdad . El divisor D se llamó regular si (o, en otras palabras, si todos los grupos de alta cohomología O( D ) desaparecen) y redundante si . $s=dimH^{1}(\mathrm {O} (D))$ ${\ estilo de visualización i = s = 0}$ $s>0$

Notas

↑ Castelnuovo, 1896 .
↑ Noether, 1875 .
↑ Enrique (1894)
↑ Zariski, 1995 , pág. 78.

Literatura

Federico Hirzebruch. Métodos Topológicos en Geometría Algebraica. - Springer, 1978. - ISBN 3-540-03525-7 . - ISBN 0-387-03525-7 . — ISBN 3-540-58663-6 .
Óscar Zariski . Superficies algebraicas. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1995. - (Clásicos de las Matemáticas). — ISBN 978-3-540-58658-6 .
Castelnuovo G. Sulle superficie di genere zero // Mem. soc. Es delle Scienze. - 1896. - Vol. 3 , núm. 10 _
Max Nother. Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde // Math. Ann .. - 1875. - T. 8 , núm. 4 . — S. 495–533 . -doi : 10.1007/ BF02106598 .