Haz coherente

Las poleas coherentes son una clase de poleas que están estrechamente relacionadas con las propiedades geométricas del espacio portador. La definición de un haz coherente utiliza un haz de anillos , que almacena esta información geométrica.

Las poleas coherentes pueden verse como una generalización de haces vectoriales . A diferencia de los paquetes de vectores, forman una categoría abeliana y, por lo tanto, se cierran en operaciones como tomar kernels , cokernels e imágenes. Los haces cuasi -coherentes son una generalización de los haces coherentes que incluyen haces vectoriales de rango infinito.

La cohomología de poleas coherentes es una técnica poderosa, utilizada en particular para estudiar secciones transversales de poleas coherentes.

Definiciones

Un haz cuasi-coherente en un espacio anillado ( X , O X ) es un haz de O X -módulos F , que es localmente representable, es decir, cada punto X tiene una vecindad abierta U , para la cual existe una secuencia exacta

{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\ a {\mathcal {F}}|_{U}\a 0

para algunos conjuntos I y J (posiblemente infinitos).

Un haz coherente en un espacio anillado ( X , O X ) es un haz F cuasi-coherente que satisface las siguientes dos condiciones:

gavilla F de tipo finito sobre O X , es decir, cualquier punto X tiene una vecindad abierta U tal que existe un morfismo sobreyectivo On
X| U → F | U para alguna n natural ;
para cualquier conjunto abierto U ⊂ X , cualquier n natural y cualquier morfismo O X -módulos φ: On
X| U → F | U , kernel φ de tipo finito.

Los morfismos entre haces (cuasi)coherentes son los mismos que los morfismos de los módulos OX .

Propiedades

En un espacio anillado arbitrario, las gavillas cuasi-coherentes no forman una categoría abeliana. Sin embargo, las gavillas cuasi-coherentes sobre cualquier esquema forman una categoría abeliana, y son extremadamente útiles en este contexto. [una]

Las poleas coherentes en un espacio anillado arbitrario forman una categoría abeliana, una subcategoría completa de la categoría O X -módulos.

Un submódulo de un haz coherente es coherente si es de tipo finito. Un haz coherente siempre es un módulo O X presentado finitamente , en el sentido de que cualquier punto X tiene una vecindad abierta U tal que la restricción F | U de la gavilla F sobre U es isomorfa al conúcleo del morfismo O X n | U → O X m | U para n y m naturales . Si O X es coherente, entonces, por el contrario, cualquier módulo O X presentado finitamente es coherente.

Un haz de anillos O X se llama coherente si es coherente como un módulo sobre sí mismo. En particular, el teorema de coherencia de Oka establece que un haz de funciones holomorfas en un espacio analítico complejo X es coherente. De manera similar, en un esquema X localmente noetheriano , la estructura haz O X es coherente. [2]

Comportamiento local de haces coherentes

Una propiedad importante de las vigas coherentes es que las propiedades de una viga coherente en un punto controlan su comportamiento en la vecindad de ese punto. Por ejemplo, el lema de Nakayama (en términos geométricos) establece que si F es un haz coherente en un esquema X , entonces su fibra, multiplicada por el tensor por el campo residual F p ⊗ O X , p k ( p ) en p (el vector espacio sobre el campo de residuos k ( p )) es cero si y solo si F es cero en alguna vecindad abierta de p . Un hecho relacionado es que la dimensión de las capas de una viga coherente es semicontinua superior . [3] Así, un haz coherente tiene un rango constante en un subconjunto abierto, mientras que en un subconjunto cerrado el rango puede saltar.

En la misma línea: un haz coherente F en un esquema X es un haz vectorial si y solo si su fibra F p es un módulo libre sobre un anillo local O X , p para cualquier punto p en X . [cuatro]

En el esquema general, es imposible determinar si un haz coherente es un haz vectorial a partir de sus fibras multiplicadas por tensor por campos de residuos. Sin embargo, en el esquema localmente noetheriano dado , un haz coherente es un paquete vectorial si y solo si su rango es localmente constante. [5]

Cohomología de haces coherentes

La teoría de la cohomología de las poleas coherentes es una de las principales herramientas técnicas de la geometría algebraica. Aunque apareció solo en la década de 1950, muchos resultados anteriores en geometría algebraica se formulan más claramente en el lenguaje de cohomología de haces aplicado a haces coherentes. En términos generales, la cohomología de haces coherentes se puede considerar como una herramienta para construir funciones con propiedades dadas; secciones de haces de líneas o poleas más generales pueden considerarse funciones generalizadas. En geometría analítica compleja, la cohomología de haces coherentes también juega un papel importante.

Teoremas de desaparición en el caso afín

El análisis complejo fue revolucionado por los teoremas A y B de Cartan , probados en 1953. Estos resultados dicen que si E es un haz analítico coherente en un espacio de Stein X , entonces E es generado por sus secciones globales, y H i ( X , E ) = 0 para todo i > 0. (El espacio complejo X es un espacio de Stein, si y solo si es isomorfo a un subespacio analítico cerrado C n para algún n .) Estos resultados generalizan un gran corpus de trabajos anteriores sobre la construcción de funciones analíticas complejas con singularidades dadas u otras propiedades.

En 1955, Serre introdujo poleas coherentes en la geometría algebraica (originalmente sobre un campo algebraicamente cerrado , pero Grothendieck eliminó esta restricción ). Los análogos de los teoremas de Cartan son verdaderos en gran generalidad: si E es un haz cuasi-coherente en un esquema afín X , entonces E es generado por sus secciones globales, y H i ( X , E ) = 0 para i > 0. [6 ] Esto se debe al hecho de que la categoría de haces cuasi-coherentes en un esquema afín X es equivalente a la categoría de O ( X ) -módulos : la equivalencia lleva el haz E al O ( X ) -módulo H 0 ( X , E ).

Cohomología Cech y cohomología espacial proyectiva

Como consecuencia de la desaparición de la cohomología de esquemas afines, para un esquema X separable , una cubierta abierta afín { U i } de un esquema X , y un haz cuasi-coherente E sobre X , los grupos de cohomología H *( X , E ) son isomorfos a los grupos de cohomología de Cech con respecto a la cubierta abierta { U i }. [6] En otras palabras, para calcular la cohomología de X con coeficientes en E , basta con conocer las secciones de E en todas las intersecciones finitas de subconjuntos afines abiertos U i .

Usando la cohomología de Cech, se puede calcular la cohomología de un espacio proyectivo con coeficientes en cualquier paquete de líneas. Es decir, para un campo k , un número natural n y un entero j , las cohomologías del espacio proyectivo P n sobre k con coeficientes en el paquete de líneas O ( j ) se dan de la siguiente manera: [7]

H^{i}(\mathbf {P} ^{n},O(j))\cong {\begin{casos}\bigoplus _{a_{0}\geq 0,\ldots ,a_{n }\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n} }&{\text{si }}i=0\\0&{\text{si }}i\neq 0{\text{ y }}i\neq n\\\bigoplus _{a_{0}<0, \ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdots x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^ {a_{n}}&{\text{si }}i=n.\end{casos}}

En particular, este cálculo muestra que la cohomología de un espacio proyectivo sobre k con coeficientes en cualquier paquete de líneas es de dimensión finita como espacios vectoriales sobre k .

La desaparición de estos grupos de cohomología en dimensiones superiores a n es un caso particular del teorema de desaparición de Grothendieck : para cualquier haz de grupos abelianos E en un espacio topológico noetheriano X de dimensión n < ∞, tenemos H i ( X , E ) = 0 para todo i > n . [8] Este resultado es especialmente útil cuando X es un esquema noetheriano (por ejemplo, una variedad algebraica sobre un cuerpo) y E es un haz coherente.

Cohomología de dimensión finita

Para un esquema adecuado X sobre un campo k y un haz coherente E sobre X , los grupos de cohomología H i ( X , E ) son de dimensión finita como espacios vectoriales sobre k . [9] En el caso particular en que X es proyectivo sobre k , esto se prueba por reducción al caso de haces de líneas en un espacio proyectivo considerado anteriormente. El caso general de un esquema propio sobre un campo se prueba por reducción al caso proyectivo usando el lema de Zhou .

La dimensionalidad finita de la cohomología también es válida para haces analíticos coherentes en un espacio complejo compacto. Cartan y Serre demostraron la dimensionalidad finita en esta situación analítica usando el teorema de Schwarz sobre operadores compactos en el espacio de Fréchet .

La dimensionalidad finita de la cohomología nos permite obtener muchos invariantes interesantes de variedades proyectivas. Por ejemplo, si X es una curva proyectiva no singular sobre un campo k plegado algebraicamente , entonces el género de X se define como la dimensión del espacio vectorial H 1 ( X , O X ). Si k es el campo de los números complejos, coincide con el género del espacio de los puntos complejos X ( C ) en la topología clásica (euclidiana). (En este caso, X ( C ) = Xan es una superficie orientada cerrada ).

Serra dualidad

La dualidad de Serre es un análogo de la dualidad de Poincaré para la cohomología de haces coherentes. Para un esquema propio suave X de dimensión n sobre un campo k , existe un mapa de trazas natural H n ( X , K X ) → k . La dualidad de Serre para un paquete vectorial E en X establece que el emparejamiento

H^{i}(X,E)\times H^{ni}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X}) \a k

es un emparejamiento perfecto para cualquier entero i . [10] En particular, los espacios vectoriales H i ( X , E ) y H n − i ( X , K X ⊗ E *) tienen la misma dimensión. (Serre también demostró la dualidad de Serre para paquetes de vectores holomorfos en una variedad compleja compacta). La teoría de la dualidad de Grothendieck incluye generalizaciones a un haz coherente arbitrario y un eigenmorfismo arbitrario de esquemas, pero las afirmaciones se vuelven menos elementales.

Por ejemplo, para una curva proyectiva no singular X sobre un campo algebraicamente cerrado k , la dualidad de Serre establece que la dimensión del espacio de 1-formas en X H 0 ( X ,Ω 1 ) = H 0 ( X , K X ) coincide con el género de X (de dimensión H 1 ( X , O )).

Teoremas de GAGA

Los teoremas de GAGA relacionan variedades algebraicas complejas con los espacios analíticos correspondientes. Para un esquema X de tipo finito sobre C , existe un funtor de haces algebraicos coherentes sobre X a haces analíticos coherentes sobre el espacio analítico correspondiente Xan . El teorema fundamental de GAGA establece que si X es propio sobre C , entonces este funtor es una categoría de equivalencia. Además, para cualquier haz algebraico coherente E en un esquema propio X sobre C , el mapeo natural

H^{i}(X,E)\a H^{i}(X^{\text{an)),E)

es un isomorfismo para todo i . [11] (El primer grupo se define usando la topología de Zariski, y el segundo grupo se define usando la topología clásica (Euclidiana).) En particular, la equivalencia entre haces coherentes analíticos y algebraicos en un espacio proyectivo implica el teorema de Chou de que cualquier el subespacio analítico cerrado de CP n es algebraico.

Teoremas de fuga

El teorema de fuga de Serre establece que para cualquier haz lineal amplio L en un esquema propio X sobre un anillo noetheriano y cualquier haz coherente F sobre X , existe un entero m 0 tal que para todo m ≥ m 0 , el haz F ⊗ L ⊗ m es generado por secciones globales y no tiene mayor cohomología. [12]

Aunque el teorema de la desaparición de Serre es útil, no conocer el número m 0 puede ser un problema. El teorema de desaparición de Kodaira es un resultado explícito importante. Es decir, si X es una variedad proyectiva suave sobre un campo de característica 0, L es un paquete lineal amplio en X y K X es el paquete canónico , entonces

H^{j}(X,K_{X}\oveces L)=0

para todo j > 0. Nótese que el teorema de Serre garantiza el mismo desvanecimiento para altas potencias de L . El teorema de desaparición de Kodaira y sus generalizaciones juegan un papel fundamental en la clasificación de variedades algebraicas y en el programa de modelos mínimos . El teorema de desaparición de Kodaira no se cumple en campos de característica positiva. [13]

Notas

↑ Stacks Project, etiqueta 01LA Archivado el 3 de septiembre de 2017 en Wayback Machine .
↑ Grothendieck, EGA I, Corolario 1.5.2.
↑ Hartshorne (1981), Ejemplo III.12.7.2.
↑ Grothendieck, EGA I, cap. 0, 5.2.7.
↑ Eisenbud (1995), Ejercicio 20.13.
↑ 1 2 Stacks Project, etiqueta 01X8 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/01X8 > Archivado el 3 de septiembre de 2017 en Wayback Machine .
↑ Hartshorne (1981), Teorema III.5.1.
↑ Hartshorne (1977), Teorema III.2.7.
↑ Stacks Project, etiqueta 02O3 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/02O3 > Archivado el 23 de diciembre de 2017 en Wayback Machine .
↑ Hartshorne (1981), Teorema III.7.6.
↑ Grothendieck & Raynaud, SGA 1, Exposé XII.
↑ Hartshorne (1981), Teorema II.5.17 y Proposición III.5.3.
↑ Michel Raynaud . Contra-ejemplo del teorema de desaparición en caractéristique p > 0 . En CP Ramanujam - un homenaje , Tata Inst. fondo. Res. Estudios en Matemáticas. 8, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, (1978), págs. 273-278.

Literatura

R. Hartshorne. Geometría algebraica / transl. De inglés. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
David Eisenbud. Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica. - Springer-Verlag, 1995. - ISBN 978-0-387-94268-1 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean . "Elements de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHES. 4 , 1960.