Dualidad proyectiva

Una propiedad importante del plano proyectivo es la " simetría " de los roles que juegan los puntos y las líneas en las definiciones y teoremas, y la dualidad es una formalización de este concepto. Hay dos aproximaciones al concepto de dualidad: una, utilizando el lenguaje del " principio de dualidad ", permite declarar un conjunto de teoremas duales entre sí, mientras que el teorema dual al verdadero también es verdadero; y otro enfoque funcional basado en un mapeo de dualidad especial. La conexión entre los enfoques es que el teorema dual se obtiene aplicando el mapeo de dualidad a cada objeto del original. También es posible un enfoque coordinado .

El concepto de dualidad plana se extiende fácilmente a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita.

El principio de dualidad

El principio de dualidad para el plano proyectivo establece que si tomamos cualquier enunciado verdadero formulado en términos de geometría proyectiva (cualquier teorema proyectivo) y reemplazamos todas las apariciones de cada término con su dual, nuevamente obtenemos un enunciado verdadero. En particular, para declaraciones sobre puntos y líneas, es suficiente reemplazar cada aparición de la palabra "punto" con "línea" y "línea" con "punto" (y también reemplazar las palabras circundantes de manera apropiada, por ejemplo, "se encuentra en" con "pertenece"). Se dice que un enunciado así obtenido es dual al original. Por ejemplo, para el axioma proyectivo "Solo hay una línea que pasa por cada dos puntos", la declaración dual es otro axioma proyectivo "Cada dos líneas se cruzan en un punto".

Este principio da una buena razón para usar el término "simétrico" para la relación de incidencia . Entonces, en lugar de la oración "un punto se encuentra en una línea", se puede decir "un punto y una línea son incidentes", y para convertir la declaración en un dual, es suficiente reordenar las palabras punto y línea ("línea y el punto son incidentes”).

Este concepto se puede generalizar a la dualidad de un espacio proyectivo tridimensional, donde los conceptos de "punto" y "plano" cambian de rol (y las líneas rectas permanecen rectas). [1] Esto conduce al Principio de Dualidad para el espacio . También son posibles otras generalizaciones (ver más abajo).

Dualidad de figuras más complejas

Una configuración de puntos y líneas con un símbolo es un conjunto de puntos y líneas tales que exactamente las líneas de configuración pasan por cada punto , y exactamente los puntos de configuración en cada línea . El objeto dual de la configuración con el símbolo es la configuración con el símbolo . Por ejemplo, el objeto dual de un objeto completo de cuatro lados es un objeto completo de cuatro lados [2] . ${\ estilo de visualización (m_ {c}, n_ {d})}$ $metro$ $norte$ $C$ $d$ ${\ estilo de visualización (m_ {c}, n_ {d})}$ ${\ estilo de visualización (n_ {d}, m_ {c})}$

El principio de dualidad admite una generalización a curvas arbitrarias en el plano proyectivo. Para construir una curva dual , se construye una línea dual a cada punto de la curva dada, y luego se considera su envolvente , una curva tal que todas las líneas obtenidas son tangentes a ella. En particular, para curvas de segundo orden en el plano proyectivo, resulta que la curva dual también es una curva de segundo orden.

Más generalmente, para cuádricas en un espacio proyectivo, se cumple la siguiente afirmación: el conjunto de hiperplanos tangentes a una cuádrica no degenerada en un espacio proyectivo forma una cuádrica no degenerada en el espacio (el asterisco, como siempre, significa espacio dual ) [ 3] . La dualidad también se puede extender a variedades algebraicas proyectivas arbitrarias. $P(B)$ $PAG(L^{*})$

Teoremas duales

Para el plano proyectivo real , hay una serie de afirmaciones bien conocidas que son duales entre sí. Entre ellos: ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2))$

Teorema de Desargues ⇔ Teorema de Desargues inverso
Teorema de Pascal ⇔ Teorema de Brianchon
Teorema de Menelao ⇔ Teorema de Ceva

Poliedros duales

En estereometría , hay una dualidad de poliedros , cuando los puntos son duales a las caras y las aristas son duales a las aristas, de modo que, por ejemplo, un icosaedro es dual a un dodecaedro y un cubo es dual a un octaedro . Una forma de construir esta dualidad es usar la dualidad proyectiva.

Formalización

Si uno define el plano proyectivo axiomáticamente como una estructura de incidencia en términos de un conjunto de puntos , un conjunto de líneas y una relación de incidencia binaria que determina qué puntos se encuentran en qué líneas, entonces se puede definir una estructura de plano dual . $PAGS$ $L$ $yo$

Si intercambiamos los roles de "puntos" y "líneas rectas" en la estructura de incidencia

C=(P,L,I),

obtenemos la estructura dual

C^{\ast}=(L,P,I^{\ast}),

donde es la relación inversa de a . es también un plano proyectivo, que se llama plano dual para . ${\ Displaystyle yo ^ {\ ast}}$ $yo$ $C^{\ast}$ $C$

Si y son isomorfos, entonces se llama autodual . Los planos proyectivos para cualquier campo (o, más generalmente, para cualquier cuerpo isomorfo a sí mismo) son autoduales. En particular, los planos desarguesianos de orden finito son siempre autoduales. Sin embargo, entre los planos no desarguesianos , hay tanto autoduales (por ejemplo, los planos de Hughes ) como no autoduales (por ejemplo, los planos de Hall). $C$ $C^{\ast}$ $C$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PG} (2, K)}$ $k$

La dualidad como mapeo

La dualidad (de un plano) es un mapeo de un plano proyectivo a su dual , conservando la propiedad de incidencia. Por lo tanto, la dualidad asigna puntos a líneas y líneas a puntos ( y ) de tal manera que si un punto se encuentra en una línea (indicada por ), entonces . ${\ estilo de visualización C = (P, L, I)}$ $C^{\ast}=(L,P,I^{\ast})$ $\sigma$ $P^{\sigma}=L$ ${\ estilo de visualización L ^ {\ sigma} = P}$ $q$ $metro$ ${\ Displaystyle Qim}$ $m^{\sigma}I^{\ast}Q^{\sigma}\Leftrightarrow QIm$

La dualidad así definida no es necesariamente una biyección. La dualidad de planos proyectivos, que es un isomorfismo, se llama correlación . [4] [5] A veces se limitan solo al caso de un automorfismo, es decir, un mapeo del plano proyectivo en sí mismo, entonces la existencia de una correlación significa la autodualidad del plano proyectivo.

Relación con la colineación

Puede ver el concepto de correlación como un análogo del concepto de colineación. Una colineación es un mapeo entre planos proyectivos que mapea puntos a puntos y líneas a líneas, es decir, preservando la incidencia. [6]

Una propiedad importante de las colineaciones es que conservan la doble relación [7] . Las correlaciones también satisfacen este requisito, traduciendo la doble proporción de puntos en una doble proporción de líneas. Por lo tanto, al traducir un conjunto de puntos en una línea en un lápiz de líneas a través de un punto, cada cuadrete armónico de puntos se traduce en un cuadrete armónico de líneas.

Considerando la composición de una correlación arbitraria consigo misma, automáticamente obtenemos alguna colineación . Si resulta ser un mapeo de identidad, es decir, si la correlación en sí misma es una involución , entonces se le llama polaridad o correspondencia polar . A veces, este nombre se aplica solo a un tipo particular de correspondencia, consulte #polos y polares . $\varphi$ $\varfi^{2}$

También se pueden introducir mapeos con las mismas propiedades en espacios de mayores dimensiones, todos los argumentos se repiten palabra por palabra.

Clasificación de correlaciones

Dado que la composición de dos correlaciones es una colineación, esto permite clasificar las colineaciones, después de lo cual el conjunto de todas las correlaciones se describe como una composición de una correlación fija con todas las colineaciones.

La noción de colineación está estrechamente relacionada con la noción de transformación proyectiva . Formalmente, una transformación proyectiva es una colineación que proviene de un operador lineal en . Resulta que en el caso real o para , estos conceptos simplemente coinciden. Para un plano proyectivo de la forma , donde es un cuerpo, según el teorema fundamental de la geometría proyectiva , cualquier colineación es una composición de un automorfismo y una transformación proyectiva . $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{n+1}$ $n>2$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PG} (2, K)}$ $k$ $k$

Esto se puede usar para mostrar que la correlación en está dada por una forma sesquilineal arbitraria en el campo asociado con un antiautomorfismo arbitrario . En este caso, cada subespacio se mapea de forma ortogonal a él con respecto a la forma dada. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PG} (2, K)}$ $K^{3}$ $k$

Dualidad en coordenadas homogéneas

La dualidad del plano proyectivo es un caso especial de la dualidad para espacios proyectivos , transformaciones (que también se denotan por ), donde hay un campo que intercambia objetos de dimensión con objetos de dimensión (= codimensión ). Así, en un espacio proyectivo, las dimensiones de un punto (dimensión 0) corresponderán a hiperplanos (codimensión 1), las rectas que pasan por dos puntos (dimensión 1) corresponderán a la intersección de dos hiperplanos (codimensión 2), y así sucesivamente. . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PG} (n, K)}$ $K\mathbb {P} ^{n}$ $k$ $r$ $n-1-r$ ${\ estilo de visualización r+1}$ $norte$

Los puntos se pueden considerar como vectores distintos de cero en el espacio vectorial ( )-dimensional sobre , en el que identificamos vectores que difieren por multiplicación por un escalar. Un vector distinto de cero también define un subespacio dimensional (hiperplano) ortogonal a él : ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PG} (n, K)}$ $n+1$ $k$ $\mathbf {u} =(u_{0},u_{1},\ldots,u_{n})$ $K^{n+1}$ $(n-1)$ ${\ Displaystyle H_ {u}}$

H_{u}=\{(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}):u_{0}x_{0}+\ldots +u_{n}x_{n} =0\}.

El vector utilizado para definir el hiperplano se denotará por , y para denotar el punto correspondiente al final del vector se utilizará la notación . En términos del producto escalar habitual , . Como es un campo, el producto escalar es simétrico, lo que significa . Puede especificar una correlación entre puntos e hiperplanos. Esta correspondencia se puede extender a líneas formadas por dos puntos y la intersección de dos hiperplanos, y así sucesivamente. $\mathbf{u}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {u} _ {H}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {u} _ {P}}$ ${\displaystyle H_{u}=\{\mathbf {x}_{P}:\mathbf {u}_{H}\cdot \mathbf {x}_{P}=0\))$ $k$ $\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=u_{0}x_{0}+u_{1}x_{1}+\ldots +u_{n}x_ {n}=x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+\ldots +x_{n}u_{n}=\mathbf {x}_{H}\cdot \mathbf {u} _{PAGS}$ ${\textbf {u}}_{P}\leftrightarrow H_{u}$

En el plano proyectivo con el campo , tenemos una correspondencia: las coordenadas homogéneas son rectas dadas por las ecuaciones . En el espacio proyectivo, la correspondencia se presenta como puntos en coordenadas homogéneas ↔ del plano, dadas por las ecuaciones . Esta correspondencia también mapea la recta dada por los dos puntos ya la recta que es la intersección de los dos planos dada por las ecuaciones y . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PG} (2, K)}$ $k$ ${\ estilo de visualización (a, b, c) \ flecha izquierda derecha}$ $hacha+por+cz=0$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PG} (3, K)}$ ${\ estilo de visualización (a, b, c, d)}$ $hacha+por+cz+dw=0$ ${\ estilo de visualización (a_ {1}, b_ {1}, c_ {1}, d_ {1})}$ ${\ estilo de visualización (a_ {2}, b_ {2}, c_ {2}, d_ {2})}$ $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}w=0$ $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}w=0$

El producto escalar en puede ser reemplazado por una forma bilineal arbitraria no degenerada, construyendo así otras correlaciones. $K^{n+1}$

Construcción geométrica de transformación mutua

La correspondencia en coordenadas homogéneas se puede describir geométricamente. Para ello se utiliza el modelo del plano proyectivo real “la esfera unitaria con la identificación de antípodas [8] ”, o, de manera equivalente, el modelo de líneas y planos que pasan por el origen del espacio . Comparemos la recta que pasa por el origen de coordenadas con el único plano ortogonal a ella que contiene el origen de coordenadas. Si en este modelo las líneas se consideran como puntos, y los planos como líneas del plano proyectivo , esta comparación se convierte en una correspondencia (de hecho, un mapeo polar) del plano proyectivo. Se puede obtener un modelo esférico como la intersección de rectas y planos que pasan por el origen, con una esfera unitaria centrada en el origen. Las rectas cortan a la esfera en dos puntos opuestos, que se identifican para obtener un punto en el plano proyectivo, mientras que los planos cortan a la esfera en círculos máximos , que son las rectas del plano proyectivo. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PG} (2, R)}$ $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {PG} (2, R)}$

Que tal yuxtaposición "preserva" la incidencia es fácil de mostrar en el modelo de líneas y planos. Un punto incidente a una línea en el plano proyectivo corresponde a una línea que se encuentra en el plano en el modelo. Con la dualidad, el plano se convierte en una recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano. Esta imagen (línea) es perpendicular a cualquier línea que se encuentre en el plano original y, en particular, a la línea original (un punto en el plano proyectivo). Todas las líneas perpendiculares a la línea original forman un plano, que es la imagen de la línea original. Así, la imagen de la línea se encuentra en la imagen del plano, por lo que se conserva la incidencia.

Polos y polares

En el plano euclidiano fijamos una circunferencia de centro y radio . Para cada punto diferente de , definimos la imagen en el rayo de acuerdo con la regla . El mapeo así definido se llama la inversión del círculo . Una línea que pasa por y perpendicular a se llama polar del punto con respecto al círculo . $C$ $O$ $r$ $PAGS$ $O$ $P'=Q$ $OP$ $OP\cdot OQ=r^{2}$ $P\mapsto Q$ $C$ $q$ $PAGS$ $OP$ $q$ $C$

Sea una línea que no pasa . Dejemos caer la perpendicular del punto a la recta . Sea la imagen del punto bajo inversión con respecto a . Entonces dicen que es el polo de la línea . Si el punto se encuentra en una recta (que no pasa por ), entonces el polo de la recta se encuentra en la polar del punto y viceversa. Así, un mapeo que lleva puntos y rectas a sus polos y polos con respecto a , conserva la incidencia y es una transformación proyectiva de . [9] $q$ $O$ $OP$ $O$ $q$ $q$ $PAGS$ $C$ $q$ $q$ $METRO$ $q$ $O$ $q$ $q$ $metro$ $METRO$ $C$

Para hacer de este proceso una transformación uno a uno y convertirlo en una correlación , el plano euclidiano debe extenderse al plano proyectivo agregando una línea en el infinito y puntos en el infinito que se encuentran en esta línea en infinito. En este plano extendido, definimos la polar de un punto como la línea en el infinito (y el punto es el polo de la línea en el infinito), y los polos de las líneas que pasan como los puntos en el infinito, donde, si la línea tiene una pendiente , su polo es el punto en el infinito correspondiente a la clase de rectas paralelas con pendiente . El polo de un eje es un punto en el infinito de las líneas verticales, y el polo de un eje es un punto en el infinito de las líneas horizontales. $O$ $O$ $O$ ${\ estilo de visualización s (\ neq 0)}$ ${\ estilo de visualización -1/s}$ $X$ $y$

La construcción de la transformación polar para la inversión sobre un círculo dada anteriormente se puede generalizar utilizando la inversión sobre secciones cónicas (en el plano real extendido). La transformación mutua así construida es una correlación proyectiva de orden 2, es decir, una transformación polar.

Asignación de una esfera a un plano

El modelo plano proyectivo con la esfera unitaria es isomorfo (teniendo en cuenta la propiedad de incidencia) del modelo plano, donde el plano se prolonga por la línea proyectiva en el infinito. En este modelo, los puntos opuestos de la esfera (en relación con el centro) se consideran un punto.

Para asociar los puntos de la esfera con puntos del plano, suponemos que la esfera toca el plano en algún punto, y elegimos este punto como origen del plano. Ahora dibujemos una línea a través de un punto en la esfera y el centro de la esfera. Esta línea se cruzará con la esfera en algún punto. El punto resultante se puede usar para construir un mapeo uno a uno

f:[0,\pi /2]\times [0,2\pi ]\rightarrow {\mathbb {R}}P^{2}.

Si los puntos en están dados en coordenadas homogéneas , entonces ${\matemáticas {R}}P^{2}$

f:(\theta ,\phi )\mapsto [\cos \phi :\sin \phi :\cot \theta ],

f^{{-1}}:[x:y:z]\mapsto \left(\arctan {\sqrt {\left({x \over z}\right)^{2}+\left({y \ sobre z}\right)^{2}}},\arctan _{2}(y,x)\right).

Las líneas en el modelo plano son proyecciones de los grandes círculos de la esfera, ya que se puede dibujar un plano a través de una línea en el plano y el origen de coordenadas tridimensionales, y este plano cortará la esfera a lo largo del gran círculo.

Como puede verse, cualquier círculo máximo sobre la esfera puede estar asociado a un punto proyectivo correspondiente a una sola línea perpendicular al plano en el que se encuentra el círculo y que puede definirse como dual. Esta recta corta al plano tangente, y esto muestra cómo asociar un solo punto del plano con cualquier recta de este plano, de tal manera que el punto será dual a la recta.

Notas

↑ J. V. Jung. geometría proyectiva. - Moscú: Estado. edición Literatura Extranjera, 1949. - S. 30.
↑ Coxeter, 2003 , pág. 26
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. 11, § 1. - M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Pevsner, 1980 , págs. 68-69 § 13 Colineaciones
↑ Dembowski, 1968 p.151.
↑ Los puntos que están en la misma línea se llaman colineales, es decir, están en la misma línea. La transformación colineal conserva la propiedad de colinealidad. Véase Volberg, 1949.
↑ Pevzner, 1980 , pp. 45-46, Doble relación de puntos y rectas en el plano
↑ los puntos opuestos de la esfera (extremos del diámetro) se llaman antípodas .
↑ Coxeter y Greitzer, 1978 pág.165

Literatura

A. Adrián Albert, Reuben Sandler. Una introducción a los planos proyectivos finitos. — Nueva York: Holt, Rinehart y Winston, 1968.
F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Springer, Berlín.
R.Baer. Álgebra lineal y geometría proyectiva. - Moscú: Editorial de literatura extranjera, 1955.
MK Bennet. Geometría afín y proyectiva . - Nueva York: Wiley, 1995. - ISBN 0-471-11315-8 .
Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Geometría proyectiva: de los cimientos a las aplicaciones. - Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - ISBN 0-521-48277-1 .
Ray Casse. Geometría proyectiva: una introducción. - Nueva York: Oxford University Press, 2006. - ISBN 0-19-929886-6 .
Judith N. Cederberg. Un curso de geometrías modernas. - Nueva York: Springer-Verlag, 2001. - ISBN 0-387-98972-2 .
G.S.M. Coxeter. Plano proyectivo real. - Moscú: Editorial estatal de literatura física y matemática, 1959.
Coxeter, HSM Geometría proyectiva. — 2ª ed. - Springer Verlag, 2003. - ISBN 978-0-387-40623-7 .
G.S.M. Coxeter. Introducción a la geometría. - Moscú: "Nauka" Edición principal de literatura física y matemática, 1968.
G.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Nuevos encuentros con la geometría. - Moscú: "Nauka" Edición principal de literatura física y matemática, 1978. - (Biblioteca del círculo matemático).
Pedro Dembowski. Geometrías finitas. Berlín: Springer Verlag, 1968.
Lynn E. Garner. Un esquema de geometría proyectiva. - Nueva York: Holanda Septentrional, 1981. - ISBN 0-444-00423-8 .
Greenberg, MJ Geometrías euclidianas y no euclidianas. — 4ª ed. —Freeman, 2007.
R. Hartshorne. Fundamentos de geometría proyectiva. - Moscú: "Mir", 1970. - (Serie Popular "Matemáticas Modernas").
Hartshorne Robin. Geometría: Euclides y más allá. — Springer, 2000.
D. Gilbert, S. Cohn-Vossen. geometría visual. - Moscú, Leningrado: Edición principal de literatura técnica general y nomografía, 1936.
DR Hughes, FC Piper. planos proyectivos. — Springer, 1973.
F. Karteszi. Introducción a las Geometrías Finitas. - Ámsterdam: Holanda Septentrional, 1976. - ISBN 0-7204-2832-7 .
RJ Mihalek. Geometría Proyectiva y Estructuras Algebraicas . - Nueva York: Academic Press, 1972. - ISBN 0-12-495550-9 .
S. Ramanan. Geometría proyectiva // Resonancia. - Springer India, agosto de 1997. - Vol. 2 , no. 8 _ — S. 87–94 . — ISSN 0971-8044 . -doi : 10.1007/ BF02835009 .
Pedro Samuel. Geometría proyectiva . - Nueva York: Springer-Verlag, 1988. - ISBN 0-387-96752-4 .
Federico W. Stevenson. planos proyectivos. - San Francisco: WH Freeman and Company, 1972. - ISBN 0-7167-0443-9 .
Oswald Veblen, JWA Young. geometría proyectiva. - Boston: Ginn & Co., 1938. - ISBN 978-1-4181-8285-4 .
O. A. Volberg. Ideas básicas de geometría proyectiva. - Moscú, Leningrado: Uchpedgiz, 1949.
S.L. Pevzner. geometría proyectiva. - Moscú: "Ilustración", 1980. - S. 68-69 § 13 Colineaciones.
INFIERNO. Alexandrov , N.Yu. Netsvetaev. Geometría. - Moscú: Nauka, 1990.
I. R. Shafarevich , A.O. Remizov. Álgebra lineal y geometría. — Moscú: Fizmatlit, 2009.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Principio de dualidad (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .