Teorema de giro de la curva de Fenchel

El teorema de Fenchel establece que la variación de rotación de cualquier curva cerrada no es menor y la igualdad se logra solo en el caso de una curva plana convexa. En particular, la curvatura media de una curva de longitud cerrada no puede ser inferior a . $2{\cdot}\pi$ $\ana$ $2{\cdot }\pi /\ell$

El teorema fue probado por Werner Fenchel . [una]

Acerca de la prueba

Por lo general, la prueba se basa en la afirmación de que la curva esférica de longitud es menor que la que se encuentra en el hemisferio abierto. Esta afirmación se puede probar, por ejemplo, aplicando la fórmula de Crofton , pero también se conocen pruebas más elementales. $2{\cdot}\pi$

Queda por señalar que la curva formada por los vectores unitarios tangentes (indicatriz tangente) a la curva original no puede estar en un hemisferio abierto. Esto significa que su longitud no es menor que , pero la longitud de esta curva coincide con la integral de curvatura. $2{\cdot}\pi$

Variaciones y generalizaciones

Lema de la cuerda de Reshetnyak Si una línea suave regular se aproxima a su cuerda en ángulos y , entonces la rotación de la curva es al menos . $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización [\ gamma (a), \ gamma (b)]}$ $\alfa$ $\beta$ $\gama$ $\alfa +\beta$
- Esta declaración se sigue fácilmente del teorema de Fenchel, pero a menudo es más conveniente usarlo. Por ejemplo, el propio teorema de Fenchel se sigue si aplicamos el lema a la partición de una curva cerrada en dos arcos.

Teorema de Fari-Milnor

Teorema de rotación de la curva plana

Notas

↑ W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven (enlace no disponible) , Mathematische Annalen 101: 238-252.

Literatura

Toponogov, V. A. Geometría diferencial de curvas y superficies . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .