Teorema del triángulo rectángulo de Fermat

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El teorema del triángulo rectángulo de Fermat es una prueba de inexistencia en la teoría de números , la única prueba completa dejada por Pierre Fermat [1] . El teorema tiene varias formulaciones equivalentes:

Si tres números cuadrados forman una progresión aritmética , entonces el paso de la progresión no puede ser un cuadrado.
No hay dos ternas pitagóricas en las que dos catetos de una terna sean el cateto y la hipotenusa de la otra terna.
Un triángulo rectángulo , en el que las longitudes de los tres lados son un número racional , no puede tener un área igual al cuadrado de un número racional. El área así definida se llama número congruente , por lo que ningún número congruente puede ser un cuadrado.
Un triángulo rectángulo y un cuadrado de igual área no pueden tener lados conmensurables (los valores son conmensurables si el cociente de estas cantidades es un número racional).
Los únicos puntos racionales en una curva elíptica son los tres puntos triviales (0,0), (1,0) y (−1,0). $y^{2}=x(x-1)(x+1)$
La ecuación diofántica no tiene soluciones enteras. $x^{4}-y^{4}=z^{2}$

Una consecuencia inmediata de la última de estas afirmaciones es la validez del último teorema de Fermat para el exponente . $n=4$

Redacción

Cuadrados de progresiones aritméticas

En 1225, se le pidió al matemático italiano Fibonacci que encontrara una manera de construir tripletas de cuadrados que estuvieran a la misma distancia entre sí, formando una progresión aritmética [2] . Una forma de describir la solución de Fibonacci es representar estos números como la diferencia de los catetos, la hipotenusa y la suma de los catetos del triple pitagórico , y luego el paso de progresión será igual al área cuádruple de este triángulo [3 ] . En un trabajo posterior sobre este problema, publicado en el Libro de los cuadrados , Fibonacci señaló que el paso de una progresión aritmética de cuadrados no puede ser en sí mismo un cuadrado, pero no proporcionó una prueba satisfactoria de este hecho [4] [5 ] .

Si tres cuadrados y formaran una progresión aritmética, en la que el paso también es un cuadrado , entonces estos números satisfarían las ecuaciones diofánticas. $un ^ 2$ $segundo^{2}$ $c^{2}$ $d^{2}$

a^{2}+d^{2}=b^{2}

y .

b^{2}+d^{2}=c^{2}

En este caso, por el teorema de Pitágoras , formarían dos triángulos rectángulos de lados enteros, en los que el par sería el cateto y la hipotenusa del triángulo menor y el mismo par serían los catetos del triángulo mayor. Pero si (como mostró Fibonacci) no hay paso de cuadrado en la secuencia aritmética de cuadrados, entonces no puede haber dos triángulos rectángulos con lados enteros cuyos dos lados coincidentes estén conectados de esta manera [6] . $(d,b)$

Áreas de triángulos rectángulos

Como el paso de una progresión de cuadrados es igual a cuatro áreas de un triángulo pitagórico, y la multiplicación por cuatro no cambia si un número es un cuadrado, la existencia de un paso de cuadrado en una sucesión aritmética de cuadrados es equivalente a la existencia de un triángulo pitagórico con un área igual al cuadrado de un número entero. Esta es la variante que consideró Fermat en su demostración y en la que demostró que tales triángulos no existen [1] . No fue Fibonacci quien impulsó a Fermat a esta tarea, sino la lectura del libro de Diofanto , publicado por Claude Gaspard Bachet [1] . Este libro describe varios triángulos rectángulos especiales cuya área está relacionada con cuadrados pero no se supone que sean cuadrados [7] .

Transformando las ecuaciones de los dos triángulos pitagóricos anteriores y luego multiplicándolos, podemos obtener la ecuación diofántica

b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}

que se puede simplificar a

b^{4}-d^{4}=e^{2}.

Por el contrario, cualquier solución a esta ecuación se puede expandir de tal manera que obtengamos el paso cuadrado en la secuencia aritmética de cuadrados. Así, la solucionabilidad de esta ecuación es equivalente a la existencia de un paso cuadrado en una sucesión aritmética de cuadrados. Pero si el último teorema de Fermat no fuera cierto para el exponente , entonces cualquier contraejemplo serían los mismos tres cuadrados que satisfacen la ecuación. Así, de la demostración de Fermat de que no existe un triángulo pitagórico con un área igual al cuadrado de un número entero, se deduce que la ecuación no tiene soluciones, y por lo tanto (para este caso) el último teorema de Fermat es verdadero [7] . $n=4$

Otra formulación del mismo problema usa números congruentes , números que son las áreas de triángulos rectángulos con lados racionales . Al multiplicar ambos lados por un denominador común, cualquier número congruente se puede convertir al área de un triángulo pitagórico, lo que implica que los números congruentes son exactamente los números que se obtienen al multiplicar el paso en una sucesión aritmética de cuadrados por el cuadrado de un número racional. Por lo tanto, no hay paso de cuadrado en la secuencia aritmética de cuadrados si y solo si el número 1 no es congruente [8] [9] . Formulación equivalente: es imposible que un cuadrado ( figura geométrica ) y un triángulo rectángulo tengan la misma área y todos los lados sean conmensurables por pares (los valores son conmensurables si el cociente de estas cantidades es un número racional) [5] .

Curva elíptica

Otra formulación equivalente del teorema de Fermat utiliza una curva elíptica que consta de puntos cuyas coordenadas cartesianas satisfacen la ecuación $(x,y)$

y^{2}=x(x+1)(x-1).

Esta ecuación tiene soluciones obvias (0.0), (1.0) y (−1.0). El teorema de Fermat es equivalente a la afirmación de que solo estos puntos de la curva tienen ambas coordenadas racionales [9] [10] .

Prueba de Fermat

Durante su vida, Fermat sugirió a algunos otros matemáticos que no existe un triángulo pitagórico con un área que sea un cuadrado, pero él mismo no publicó la prueba. Sin embargo, anotó la prueba en los márgenes de la Aritmética de Diofanto , publicada por Claude Bachet , que pronto fue descubierta y publicada póstumamente por su hijo [1] [5] .

La demostración de Fermat utiliza el método del descenso infinito . Demostró que de cualquier instancia de un triángulo pitagórico con un área cuadrada, se puede obtener la misma instancia con un área más pequeña. Dado que los triángulos pitagóricos tienen un área entera positiva, y no hay una secuencia decreciente infinita de números enteros positivos, no puede haber triángulos pitagóricos con un área que sea el cuadrado de un número entero [1] [5] .

Supongamos que , y son lados enteros de un triángulo rectángulo cuyo área es el cuadrado de un número entero. Después de dividir por factores comunes, podemos considerar el triángulo simple [5] , y de las fórmulas conocidas para triángulos pitagóricos simples, podemos asumir , y , por lo que el problema se convierte en encontrar números enteros coprimos y (uno de los cuales es par), tal que es un cuadrado. Los cuatro factores lineales , y son coprimos y , por lo tanto, deben ser cuadrados. Sea y . Es importante notar que y , y deben ser impares, ya que solo uno de los números es par y el otro es impar. Así, y , y son pares, y uno de ellos es divisible por 4. De estos dos números, Fermat obtiene otros dos números, y , uno de los cuales es par. Dado que es un cuadrado, y son los catetos de otro triángulo pitagórico simple, cuyo área es igual a . Como él mismo es un cuadrado, y como es par, es un cuadrado. Así, cualquier triángulo pitagórico con área igual al cuadrado de un número entero conduce a un triángulo pitagórico más pequeño con área cuadrada, lo que completa la demostración [1] [7] [5] . $X$ $y$ $z$ $x=2pq$ $y=p^{2}-q^{2}$ $z=p^{2}+q^{2}$ $pags$ $q$ $pq(p^{2}-q^{2})$ $pags$ $q$ $p+q$ $pq$ $p+q=r^{2}$ $pq=s^{2}$ $r$ $s$ $pags$ $q$ $(rs)$ $(r+s)$ $u=(rs)/2$ $v=(r+s)/2$ $u^{2}+v^{2}=p$ $tu$ $v$ $(uv)/2=q/4$ $q$ $ultravioleta$ $q/4$

Enlaces

↑ 1 2 3 4 5 6 G. Edwards. El último teorema de Fermat: una introducción genética a la teoría algebraica de números. - M. : Mir, 1980. - S. 24; 1.6 Una prueba de Fermat.
↑ Miguel Juan. El nacimiento de las matemáticas: desde la antigüedad hasta 1300. - Infobase Publishing, 2006. - P. 124. - ISBN 978-0-8160-5423-7 .
↑ Albert H. Beiler. Recreaciones en la Teoría de Números: La Reina de las Matemáticas Entretiene. - Courier Corporation, 1964. - Pág. 153. - ISBN 978-0-486-21096-4 .
↑ Oystein Ore. Teoría de números y su historia. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203. — ISBN 978-0-486-13643-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Leonard Eugene Dickson. Historia de la Teoría de Números. - Sociedad Matemática Americana, 1999. - V. 2. - S. 615-626. — ISBN 978-0-8218-1935-7 .
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↑ 1 2 3 John Stillwell. números y geometría. - Springer, 1998. - S. 131-133. - (Textos de Grado en Matemáticas). - ISBN 978-0-387-98289-2 .
↑ Keith Conrado. El problema de los números congruentes // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Vol. 2 , número. 2 . — págs. 58–73 . Archivado desde el original el 20 de enero de 2013.
↑ 12Neal Koblitz . Introducción a las Curvas Elípticas y Formas Modulares. - Springer-Verlag, 1984. - (Textos de Grado en Matemáticas). - ISBN 0-387-97966-2 .
↑ Kazuya Kato, Takeshi Saito. Teoría de números: el sueño de Fermat. - Sociedad Matemática Americana, 2000. - Pág. 17. - ISBN 978-0-8218-0863-4 .

Enlaces externos

Weisstein, Teorema del triángulo rectángulo de Eric W. Fermat (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .