Número congruente

Un número congruente es un número natural igual al área de un triángulo rectángulo con lados cuyas longitudes se expresan mediante números racionales [1] . Una definición más general incluye todos los números racionales positivos con esta propiedad [2] .

Los números congruentes forman una secuencia.

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52… (secuencia A003273 en OEIS )

Tabla de números congruentes: n ≤ 120 [3]
—: número no congruente K: no cuadrado Número congruente Q: número congruente con factor cuadrado
norte	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho
	—	—	—	—	k	k	k	—
norte	9	diez	once	12	13	catorce	quince	dieciséis
	—	—	—	—	k	k	k	—
norte	17	Dieciocho	19	veinte	21	22	23	24
	—	—	—	q	k	k	k	q
norte	25	26	27	28	29	treinta	31	32
	—	—	—	q	k	k	k	—
norte	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	k	—	—	k	k	k	—
norte	41	42	43	44	45	46	47	48
	k	—	—	—	q	k	k	—
norte	49	cincuenta	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	q	k	q	k	q
norte	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	q	k	k	q	—
norte	sesenta y cinco	66	67	68	69	70	71	72
	k	—	—	—	k	k	k	—
norte	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	k	k	k	q
norte	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	q	k	k	k	q
norte	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	q	k	k	k	q
norte	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	k	k	k	—
norte	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	k	k	k	q
norte	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	q	q	k	k	q

Por ejemplo, 5 es un número congruente porque es el área de un triángulo con lados 20/3, 3/2 y 41/6. De la misma manera, el número 6 es congruente porque es el área de un triángulo de lados 3,4 y 5. El 3 no es congruente.

Si q es un número congruente, entonces s 2 q también es congruente para algún número s (simplemente multiplique cada lado del triángulo por s ), lo contrario también es cierto. Esto lleva a la observación de que si un número racional q distinto de cero es un número congruente depende solo de su clase lateral en el grupo

{\mathbb {Q}}^{{*}}/{\mathbb {Q}}^{{*2}}

Cualquier clase lateral en este grupo contiene exactamente un número no cuadrado , por lo que cuando uno habla de números congruentes, uno se refiere solo a números enteros positivos no cuadrados.

El problema de los números congruentes

El área de un triángulo rectángulo en función de los catetos se expresa de la siguiente manera:

{\ estilo de visualización S = ab/2}

El requisito para un triángulo rectangular se expresa de la siguiente manera:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

donde a , b son los catetos del triángulo, c es su hipotenusa . El problema de determinar si un número natural S es congruente se reduce a encontrar una solución racional a este sistema de ecuaciones.

El problema de determinar si un entero dado es congruente se llama problema de números congruentes . La tarea (para 2012) aún no ha sido resuelta. El teorema de Tunnel proporciona una prueba simple para determinar si un número es congruente, pero este resultado se basa en la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer , que no ha sido probada.

El teorema del triángulo rectángulo de Fermat , llamado así por Pierre Fermat , establece que ningún número cuadrado puede ser congruente. Sin embargo, en forma de afirmación de que cualquier diferencia (paso) entre términos sucesivos de una progresión aritmética de cuadrados no es un cuadrado perfecto, este hecho ya era conocido (sin demostración) por Fibonacci [4] . Cualquier paso de progresión de este tipo es un número congruente, y cualquier número congruente es el producto del paso de progresión y el cuadrado de un número racional [5] . Sin embargo, determinar si un número es un paso de una progresión de cuadrados es una tarea mucho más sencilla, ya que existe una fórmula paramétrica en la que es necesario verificar solo un número finito de valores de parámetros [6] .

Conexión con curvas elípticas

La cuestión de si un número dado es congruente resulta ser equivalente a la condición de que alguna curva elíptica tenga rango positivo [2] . A continuación se presenta un enfoque alternativo a la idea (y se puede encontrar en la introducción del trabajo de Tunnel).

Supongamos que a , b y c son números (no necesariamente positivos o racionales) que satisfacen las siguientes condiciones:

{\begin{matriz}a^{2}+b^{2}&=&c^{2}\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matriz}}

Sean x = norte ( a + c )/ b y y = 2 norte 2 ( a + c )/ segundo 2 . Obtener

y^{2}=x^{3}-n^{2}x

y y no es igual a 0 (si y = 0, entonces a = - c , entonces b = 0, pero (1/2) ab = n no es igual a cero, una contradicción).

Por el contrario, si x e y son números que satisfacen las ecuaciones anteriores e y no es igual a 0, coloque a = ( x 2 - n 2 )/ y , b = 2 nx / y y c = ( x 2 + n 2 ) / año _ Los cálculos muestran que estos tres números satisfacen las dos ecuaciones anteriores.

La correspondencia entre ( a , b , c ) y ( x , y ) es reversible, por lo que tenemos una correspondencia biunívoca entre las soluciones de estas dos ecuaciones para a , b y c , y las soluciones para x y y , donde y no es cero. En particular, de las fórmulas para a , b y c se sigue que, dado un n racional , los números a , b y c son racionales si y sólo si los correspondientes x e y son racionales, y viceversa. (También obtenemos que a , b y c son positivos si y solo si x e y son positivos. De la ecuación y 2 = x 3 - xn 2 = x ( x 2 - n 2 ) tenga en cuenta que si x e y son positivos , entonces x 2 - n 2 debe ser positivo, por lo que la fórmula anterior para a dará un número positivo).

Así, un número racional positivo n es congruente si y sólo si y 2 = x 3 - n 2 x tiene un punto racional con y distinto de cero . Se puede demostrar (como una elegante consecuencia del teorema de Dirichlet sobre los primos en progresión aritmética) que solo los puntos de torsión de esta curva elíptica tienen y igual a 0, lo que implica que la existencia de puntos racionales con y distinto de cero equivale a decir que la curva elíptica tiene rango positivo.

Estado actual

Muchos trabajos están dedicados a la clasificación de números congruentes.

Por ejemplo, se sabe [7] que para un número primo p se cumple lo siguiente:

si p ≡ 3 ( mod 8) entonces p no es congruente, pero 2p sí lo es.
si p ≡ 5 (mod 8), entonces p es congruente.
si p ≡ 7 (mod 8), entonces p y 2 p son congruentes.

También se sabe [8] que en cada una de las clases de residuos 5, 6, 7 (mod 8) y cualquier k dada , hay infinitos números congruentes libres de cero con k factores primos.

Véase también

números pitagóricos

Notas

↑ Mundo matemático .
↑ 12Neal Koblitz . Introducción a las Curvas Elípticas y Formas Modulares . - Nueva York: Springer-Verlag , 1993. - Pág . 3 . - ISBN 0-387-97966-2 .
↑ Secuencia OEIS A003273 _
↑ Oystein Ore. Teoría de números y su historia. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203 . — ISBN 9780486136431 .
↑ Keith Conrado. El problema de los números congruentes // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Vol. 2 , número. 2 . - S. 58-73 .
↑ David Darling. El Libro Universal de las Matemáticas: Del Abracadabra a las Paradojas de Zenón. - John Wiley & Sons, 2004. - Pág. 77. - ISBN 9780471667001 .
↑ Paul Monski. Simulacros de puntos de Heegner y números congruentes // Mathematische Zeitschrift. - 1990. - T. 204 , núm. 1 . - S. 45-67 . -doi : 10.1007/ BF02570859 .
↑ Ye Tian. Números Congruentes y Puntos de Heegner. - 2012. - arXiv : 1210.8231v1 .

Literatura

Koblitz N. Introducción a las curvas elípticas y formas modulares. — M .: Mir, 1988.
Ostrik VV, Tsfasman MA Geometría algebraica y teoría de números: curvas racionales y elípticas . — M. : MTsNMO , 2010. — 48 p. - (Biblioteca "Iluminación Matemática"). — ISBN 5-900916-71-5 .
Stewart, Ian . Sueños diofánticos. Hipótesis de Birch-Swinnerton-Dyer // Los mayores problemas matemáticos. - M. : < Alpina no ficción >, 2016. - 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
Chistyakov II Sobre triángulos racionales // Educación Matemática . - M. - L .: ONTI , 1934. - Emisión. 1 . - S. 10-16 .
Silverberg, Alicia. Preguntas Abiertas en Geometría Aritmética Algebraica ( PostScript ). - Una breve discusión sobre el estado del problema y muchos enlaces.
Ricardo Guy . Problemas no resueltos en teoría de números. — ISBN 0-387-20860-7 . - Muchos enlaces.
Leonard Eugene Dickson . Historia de la Teoría de los Números . - T. II. - ISBN 0-8218-1935-6 . — Historia del problema.
Ronald Alter. El problema de los números congruentes // American Mathematical Monthly. - Asociación Matemática de América, 1980. - V. 87 , no. 1 . - S. 43-45 . -doi : 10.2307/ 2320381 . — .
Chandrasekar V. El problema de los números congruentes // Resonancia. - 1998. - Vol. 3 , número. 8 _ - S. 33-45 . -doi : 10.1007/ BF02837344 .
Jerrold B. Tunnell. Un problema diofántico clásico y formas modulares de peso 3/2 // Inventiones Mathematicae . - 1983. - T. 72 , núm. 2 . - S. 323-334 . -doi : 10.1007/ BF01389327 .

Enlaces

Todos los números congruentes hasta un billón calculado
Un billón de triángulos : los matemáticos han resuelto el primer billón de casos (sujeto a la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer ).
Weisstein, Eric W. Número congruente (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .