Teorema de Spielrain

El teorema de Spielrain es uno de los teoremas centrales de la teoría de los conjuntos ordenados , formulado y demostrado por primera vez por el matemático polaco Edward Spielrain en 1930.

Redacción

Cualquier relación de orden parcial dada en algún conjunto puede extenderse a una relación de orden lineal . $\leqslant$ $X$

Prueba

La demostración del teorema se basa en la aplicación del axioma de elección ( el lema de Kuratowski-Zorn ).

Generalizaciones y ampliaciones

Teorema de Dushnik-Miller

Ben Dusnik y B. W. Miller demostraron que toda relación de orden parcial es la intersección de las relaciones de orden lineal que la contienen.

El caso de los grupos

Las generalizaciones del teorema de Spielrain para el caso en que las relaciones de orden parcial y las relaciones de orden lineal que las extienden son consistentes con las operaciones algebraicas de grupos , anillos y otros sistemas algebraicos sobre los que se dan estas relaciones, fueron consideradas por el matemático húngaro Laszlo Fuchs . . En particular, el teorema de Fuchs establece que un orden de grupo parcial puede extenderse a un orden de grupo lineal si y solo si cumple la siguiente condición: $\leqslant$ $GRAMO$ $GRAMO$

para cada conjunto finito de elementos en ( ) uno puede elegir signos ( o ) de tal manera que ${\displaystyle a_{1},\;\ldots,\;a_{n))$ $GRAMO$ $a_{i}\neq e$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {1}, \; \ ldots, \; \ varepsilon _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {i} = 1}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {i} = -1}$

P\cap S(a_{1}^{\varepsilon _{1)),\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n}))=\varnothing .

Aquí

S(a_{1},\;\ldots,\;a_{n})

es un subsemigrupo invariante generado por elementos ,

{\displaystyle a_{1},\;\ldots,\;a_{n))

{\displaystyle P=\{x\in G\mid 0\leqslant x\))

es un cono de razón positiva .

\leqslant

El orden parcial de un grupo abeliano se puede extender a un orden lineal si y solo si está libre de torsión, es decir, todos sus elementos excepto el orden infinito neutro .

El teorema de Dushnik-Miller en este caso se generaliza de la siguiente manera: un orden parcial de un grupo es una intersección de órdenes lineales si y solo si se sigue que para cada conjunto finito de elementos en ( ) existen tales signos adecuados ( o ) que $\leqslant$ $GRAMO$ $a\notin P$ ${\displaystyle a_{1},\;\ldots,\;a_{n))$ $GRAMO$ $a_{i}\neq e$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {1}, \; \ ldots, \; \ varepsilon _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {i} = 1}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {i} = -1}$

P\cap S(a,\;a_{1}^{\varepsilon _{1)),\;\ldots,\;a_{n}^{\varepsilon _{n)))=\varnada .

Un orden parcial de un grupo abeliano es una intersección de órdenes lineales si y solo si está aislado, es decir, de donde se sigue algún número natural . $\leqslant$ $a^{n}\geqslant e$ $norte$ $a\geqslant e$

El caso de los espacios vectoriales

Cualquier relación de orden parcial dada en un espacio vectorial y consistente con su estructura puede extenderse a una relación de orden lineal consistente.

Enlaces

Spielrain, E. (1930), Sur l'extension de l'ordre partiel , Fundamenta Mathematicae T. 16: 386–389, ISSN 0016-2736 , < http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php? wyd=1&tom=16 > Archivado el 6 de febrero de 2012 en Wayback Machine .
Dushnik, Ben & Miller, E.W. (1941), Conjuntos parcialmente ordenados , American Journal of Mathematics vol. 63(3): 600-610, MR : 0004862 , ISSN 0002-9327 , doi : 10.2307/2371374 , < https:// www.jstor.org/stable/2371374 > .
Fuchs L. Sistemas algebraicos parcialmente ordenados. - M. : Mir, 1965. - 342 p.

Véase también

conjunto parcialmente ordenado