H-cobordismo

El h -cobordismo es un bordismo , dondees una variedad diferenciable compacta , cuyo límitees la unión de variedades cerradas disjuntasy, que son retractos de deformación . El ejemplo más simple es el trivial -cobordismo $(M;M,M')$ $W$ $\W parcial$ $METRO$ $METRO'$ $W$ $h$

(M\veces [0,1];M\veces 0,M\veces 1).

Las variedades se llaman -cobordantes si existe un -cobordismo que las conecta. $METRO$ $METRO'$ $h$ $h$ $(M;M,M')$

El teorema del -cobordismo $h$ da condiciones para cuando un -cobordismo es trivial. El teorema fue probado por primera vez por Stephen Smale , quien recibió el Premio Fields por los resultados relacionados con este teorema. Con la ayuda del teorema, demostró la conjetura generalizada de Poincaré para las dimensiones . $h$ ${\ estilo de visualización \ geq 5}$

Propiedades

(Teorema sobre -cobordismo) Si es -cobordismo, y y son simplemente variedades lisas (o lineales por partes) conectadas y , entonces es difeomorfa ( por partes linealmente isomorfa ) a -cobordismo trivial. $h$ $(M;M,M')$ $h$ $METRO$ $METRO'$ $\operatorname {tenue}W\geq 6$ $W$ $h$
- En particular, es difeomorfo . $METRO$ $METRO'$

Variaciones y generalizaciones

Si eliminamos la condición de variedades cobordantes simplemente conexas y , entonces el obstáculo a la trivialidad del cobordismo entre ellas es la torsión de Whitehead [1] . El teorema del -cobordismo establece que un cobordismo entre dos variedades es trivial si y solo si la torsión de Whitehead desaparece. $METRO$ $METRO'$ $s$

Notas

↑ Torsión de Whitehead // Wikipedia . — 2020-04-28.

Literatura

Milnor, J., El teorema del cobordismo, $h$ Moscú, 1969;
Smale S., Conjetura generalizada de Poincaré en dimensiones mayores que cuatro, The Ann. of Math., 2nd Ser., Vol. 74, No. 2. (septiembre de 1961), págs. 391-406.