Teorema de la mariposa
El teorema de la mariposa es un teorema clásico en planimetría .
Historia
Publicado en 1803 por Wallace en la revista inglesa The Gentlemen's MathematicalMás tarde, fue reabierto varias veces.
Redacción
Sean trazadas dos cuerdas arbitrarias AB y CD de la misma circunferencia por el punto M , que es el punto medio de la cuerda PQ de alguna circunferencia . Sean las cuerdas AD y BC cortadas con la cuerda PQ en los puntos X e Y. Entonces M es el punto medio del segmento XY .
Notas
El teorema de la mariposa inversa también es cierto :
- Se trazan dos cuerdas arbitrarias AB y CD a través de un punto M dentro de un cierto círculo . Sean las cuerdas AD y BC cortadas con una cuerda arbitraria PQ en los puntos X e Y. Entonces, si M es el punto medio del segmento XY , entonces también es el punto medio de la cuerda PQ .
Acerca de la evidencia
El teorema de la mariposa tiene un gran número de demostraciones diferentes, tanto en el marco de la geometría elemental como utilizando métodos que van más allá.
- En particular, en el modelo proyectivo del plano de Lobachevsky , el triángulo es centralmente simétrico y el teorema se sigue fácilmente de esto.
- Usando la proyección de razones dobles: Considere la razón doble de los puntos y proyéctela sobre el círculo desde el punto . Los puntos y entrarán en sí mismos, ya que pertenecen al círculo, y los puntos y entrarán en los puntos y, respectivamente. Obtenemos (esto último debe interpretarse como una doble razón de puntos en el plano complejo). Volvemos a proyectar sobre una línea recta centrada en el punto , obtenemos . Escribimos la relación doble por definición, obtenemos la igualdad necesaria.
- También se utiliza el método de inversión [1]
Variaciones y generalizaciones
- Generalización de Sharygin [ 2] : Sea una cuerda AB dada en un círculo , puntos M y N en él , y AM = BN . A través de los puntos M y N se trazan las cuerdas PQ y RS , respectivamente. Las rectas QS y RP cortan la cuerda AB en los puntos K y L , luego AK = BL .
Enlaces
- Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nuevos encuentros con la geometría. -M.:Nauka, 1978. - T. 14.- (Biblioteca del Círculo Matemático).
- Chentsov N. N., Shklyarsky D. O., Yaglom I. M. Problemas seleccionados y teoremas de matemáticas elementales. Geometría (planimetría). — M .: Gostekhizdat, 1952.
- Zhizhilkin I. D. Inversión .. - M . : MTsNMO, 2009. - P. 36.