El teorema de los dos policías

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El teorema de los dos policías es un teorema de análisis matemático sobre la existencia de un límite para una función que está "intercalada" entre otras dos funciones que tienen el mismo límite. Formulado de la siguiente manera:

Si la función es tal que para todo en alguna vecindad del punto , y las funciones y tienen el mismo límite en , entonces hay un límite de la función en , igual al mismo valor, es decir $y=f(x)$ $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ $X$ $a$ $\varfi(x)$ $\psi(x)$ $x \ a un$ $y=f(x)$ $x \ a un$

\lim_{{x\a}}\varphi (x)=\lim_{{x\a}}\psi (x)=A\Rightarrow \lim_{{x\a}}f( x)=A.

Además, este nombre tiene un teorema de límite de secuencia similar , formulado de la siguiente manera:

Si la sucesión es tal que para todo , y las sucesiones y tienen el mismo límite en , entonces hay un límite de la sucesión en , igual al mismo valor, es decir $un$ $b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant c_{n}$ $norte$ $b_n$ $c_n$ $n\to\infty$ $un$ $n\to\infty$

\lim_{{n\to \infty}}b_{n}=\lim_{{n\to \infty}}c_{n}=A\Rightarrow \lim_{{n\to \infty}}a_ {n}=A.

Prueba

De la desigualdad obtenemos la desigualdad . La condición nos permite decir que para cualquiera existe una vecindad en la que las desigualdades y son verdaderas . De las desigualdades anteriores se sigue que para , que satisface la definición del límite , es decir, [1] . $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ $\varphi (x)-A\leqslant f(x)-A\leqslant \psi (x)-A$ $\lim \limits_{{x\to a}}\varphi (x)=A=\lim \limits_{{x\to a}}\psi (x)$ $\varepsilon >0$ $U_{a}$ $\left|\varphi(x)-A\right|<\varepsilon$ $\left|\psi (x)-A\right|<\varepsilon$ $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$ $x\en U_{a}$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=A$

Título y terminología extranjera

El nombre del teorema proviene del hecho de que si dos policías llevan a un detenido a la comisaría por debajo del brazo, éste se ve obligado a acompañarlos.

En diferentes países este teorema se llama de manera diferente. El teorema de la contracción, el teorema de la función intermedia, el teorema de los dos carabinieri , el teorema del sándwich (o la regla del sándwich), el teorema de las tres cuerdas, el teorema de los dos gendarmes , el teorema de los dos policías , etc.

Véase también

Notas

↑ Demidovich B.P. , Kudryavtsev V.A. Un curso breve de matemáticas superiores. — M .: AST ; Astrel, 2007. - S. 121-122. - ISBN 978-5-17-004601-0 . - ISBN 978-5-271-01318-8 . - ISBN 978-985-16-4561-5 .

Enlaces

Discusión del nombre del teorema en diferentes países