Teorema del triángulo isósceles

El teorema del triángulo isósceles es un teorema clásico en geometría que establece que los ángulos opuestos a los lados de un triángulo isósceles son iguales. Este teorema aparece como la Proposición 5 del Libro 1 de los Elementos de Euclides .

La afirmación inversa también es cierta: si dos ángulos de un triángulo no degenerado son iguales, entonces los lados opuestos a ellos también son iguales. El teorema es válido en geometría absoluta y, por lo tanto, en la geometría de Lobachevsky , también es válido en geometría esférica .

Pons asinorum

Este teorema, como (más raramente) el teorema de Pitágoras , a veces se llama lat. pons asinorum [1] ({ref=la}}, [ˈpons asiˈnoːrʊm]) - "puente de burros". La frase se conoce desde 1645 [2]

Hay dos posibles explicaciones para este nombre. Una es que el dibujo usado en la prueba de Euclides se parecía a un puente. Otra explicación es que esta es la primera prueba seria en los Elementos de Euclides: los "burros" no pueden dominarlo [1] .

Evidencia

Euclides y Proclo

Euclides prueba además que si los lados de un triángulo se extienden más allá de la base, entonces los ángulos entre las extensiones y la base también son iguales. Es decir, en el dibujo de la demostración de Euclides. $\measuredangle CBF=\measuredangle BCG$

Proclo señala que Euclides nunca usa esta afirmación adicional y su prueba puede simplificarse ligeramente dibujando segmentos auxiliares a los lados del triángulo, y no a sus extensiones. El resto de la prueba funciona casi sin cambios. Proclus sugirió que la segunda derivación podría usarse como justificación en la prueba de la siguiente proposición, donde Euclides no consideró todos los casos.

La prueba se basa en la oración anterior de los Elementos, en lo que hoy se llama la prueba de la igualdad de los triángulos en dos lados y el ángulo entre ellos.

Prueba de Proclo

Sea un triángulo isósceles de lados iguales y . Marcamos un punto arbitrario en el lado y construimos un punto en el lado de modo que . Dibujemos segmentos , y . Dado que , y el ángulo es común, por la igualdad de los dos lados y el ángulo entre ellos, , y por lo tanto sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Por lo tanto, el ángulo y y . Como y , las restas de partes iguales son iguales, obtenemos . Aplicando de nuevo el signo de la igualdad de los triángulos de dos lados y el ángulo entre ellos, obtenemos que . De aquí y . Restas de partes iguales iguales obtenemos . Nuevamente, por el mismo criterio, obtenemos que . Por lo tanto ■ $\triángulo ABC$ $AB$ $C.A.$ $D$ $AB$ $mi$ $C.A.$ $AD=AE$ $corriente continua$ $SER$ $DE$ $AD=AE$ ${\ estilo de visualización AB = AC}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo A}$ ${\ estilo de visualización \ triángulo BAE \ cong \ triángulo CAD}$ $\measuredangle ABE=\measuredangle ACD$ $\measuredangle AEB=\measuredangle ADC$ $BE=CD$ ${\ estilo de visualización AB = AC}$ $AD=AE$ $BD=CE$ ${\ estilo de visualización \ triángulo DBE \ cong \ triángulo ECD}$ $\measuredangle BDE=\measuredangle CED$ $\measuredangle BED=\measuredangle CDE$ $\measuredangle BDC=\measuredangle CEB$ ${\ estilo de visualización \ triángulo BDC \ cong \ triángulo CEB}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo medido B = \ ángulo medido C}$

pap

Proclus también da una prueba muy breve atribuida a Pappus . Es más simple y no requiere construcciones adicionales. La prueba aplica el signo de igualdad en dos lados y el ángulo entre ellos al triángulo y su imagen especular.

Prueba Pappus

Sea un triángulo isósceles de lados iguales y . Dado que el ángulo es común en dos lados y el ángulo entre ellos . En particular, . ■ $\triángulo ABC$ $AB$ $C.A.$ ${\ estilo de visualización \ ángulo A}$ ${\ estilo de visualización AB = AC}$ $\triángulo ABC\cong \triángulo ACB$ ${\ estilo de visualización \ ángulo medido B = \ ángulo medido C}$

Otros

La prueba de Pappus a veces confunde a los estudiantes al comparar el triángulo "consigo mismo". Por lo tanto, los libros de texto a menudo dan la siguiente prueba más larga. Es más simple que la prueba de Euclides, pero usa la noción de bisectriz. En los Elementos, la construcción de la bisectriz de un ángulo se da solo en la Proposición 9. Por lo tanto, el orden de presentación debe cambiarse para evitar la posibilidad de un razonamiento circular.

Prueba

Sea un triángulo isósceles de lados iguales y . Dibujemos la bisectriz del ángulo . Sea el punto de intersección de la bisectriz con el lado . Tenga en cuenta que desde , y el lado común. Entonces _ ■ $\triángulo ABC$ $AB$ $C.A.$ ${\ estilo de visualización \ ángulo A}$ $X$ $antes de Cristo$ ${\ estilo de visualización \ triángulo BAX \ cong \ triángulo CAX}$ $\measuredangle BAX=\measuredangle CAX$ ${\ estilo de visualización AB = AC}$ ${\ estilo de visualización AX}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo medido B = \ ángulo medido C}$

Legendre utiliza construcciones similares en sus "Éléments de géométrie", pero tomando como centro . La prueba es similar, pero usa el signo de que los triángulos son iguales en tres lados. $X$ $antes de Cristo$

Enlaces

↑ 12 Smith , David Eugene. Historia de las Matemáticas : [ ing. ] . - Ginn and Company, 1925. - vol. II: Temas especiales de matemáticas elementales. - pág. 284. - 725 pág.
Se formó en un puente a través del cual los tontos no podían esperar pasar y, por lo tanto, se lo conocía como pons asinorum, o puente de los tontos.¹
…

1. El término es algo aplicado al Teorema de Pitágoras.
↑ Definición de Pons Asinorum . Merriam Webster. Consultado el 5 de octubre de 2019. Archivado desde el original el 1 de abril de 2019.