Teorema de la representación de Rees

El teorema de representación de Rees (también el teorema de Rees-Fréchet ) es una declaración de análisis funcional , según la cual cada funcional lineal acotado en un espacio de Hilbert se puede representar a través de un producto interno usando algún elemento. Nombrado en honor al matemático húngaro Frigyes Rys .

Redacción

Sea un espacio de Hilbert y un funcional lineal acotado en el espacio . Entonces hay un único elemento del espacio , tal que para un arbitrario . Además, se cumple la igualdad: . $H$ $f \ en H '$ $H$ $y$ $H$ $x\en H$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $\|y\|=\|f\|$

Prueba

$\corte)$ el núcleo de un funcional lineal es un subespacio vectorial . $H$

Existencia $y$

Si , entonces es suficiente para tomar . Supongamos que . Entonces , y, por tanto, el complemento ortogonal del kernel no es igual a . Elegimos un vector arbitrario distinto de cero . deja _ Lo mostraremos para todos . Considere el vector . Tenga en cuenta que , y por lo tanto . Porque , entonces . Como consecuencia, $f\equiv 0$ $y=0$ $f\neq 0$ $\ker(f)\neqH$ ${\ estilo de visualización \ ker (f) ^ {\ bot}}$ $F$ $\{0\}$ $b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \))$ $y={\tfrac{f(b)}{\|b\|^{2}}}b$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $x\en H$ $p_{x}=x-{\tfrac{f(x)}{f(b)}}b$ $f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)))f(b)=0$ $p_{x}\in\ker(f)$ ${\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot ))$ $\langle b,p_{x}\rangle =0$

$\langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\ rango -{f(x) \sobre f(b)}\|b\|^{2}=0$ .

De aquí y . $f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2))}$ $f(x)=\langle y,x\rangle$

Singularidad $y$

Supongamos que y los elementos satisfacen . $y$ $z$ $H$ $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$

Esto significa que la igualdad es cierta para todos , en particular , de los que se obtiene la igualdad . $x\en H$ $\langle yz,x\rangle =0$ $\langle yz,yz\rangle =\|yz\|^{2}=0$ $y=z$

Igualdad de normas

Para probarlo, primero de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky tenemos: . Por tanto, según la definición de la norma del funcional, tenemos: Además, , de donde . Combinando las dos desigualdades, obtenemos . $\|y\|=\|f\|$ $|f(x)|=|\langle y,x\rangle |\leq \|y\|\|x\|$ $\|f\|\leq \|y\|.$ $\langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|$ $\|y\|\leq \|f\|$ $\|y\|=\|f\|$

Véase también

Teorema de Lax-Milgram