Prueba de hipótesis estadísticas

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La prueba de hipótesis estadísticas es el contenido de una de las vastas clases de problemas de estadística matemática [1] .

Hipótesis estadística : una hipótesis sobre el tipo de distribución y las propiedades de una variable aleatoria , que se puede confirmar o refutar aplicando métodos estadísticos a los datos de la muestra [1] .

Hipótesis estadísticas

Definiciones

Supongamos que en un experimento (estadístico), una variable aleatoria está disponible para observación , cuya distribución es total o parcialmente desconocida. Entonces cualquier afirmación sobre se llama una hipótesis estadística . Las hipótesis se distinguen por el tipo de suposiciones contenidas en ellas: $X$ $\matemáticas {P}$ $\matemáticas {P}$

Una hipótesis estadística que determina únicamente la distribución , es decir , donde hay alguna ley específica, se llama simple . $\matemáticas {P}$ $H:\;\{{\mathbb {P}}={\mathbb {P}}_{0}\}$ ${\matemáticas {P}}_{0}$

Una hipótesis estadística que establece que una distribución pertenece a una determinada familia de distribuciones, es decir, de la forma , donde es una familia de distribuciones, se denomina compleja . $\matemáticas {P}$ $H:\;\{{\mathbb {P}}\in {\mathcal {P}}\}$ ${\ matemáticas {P}}$

En la práctica, por lo general se requiere probar alguna hipótesis específica y, por regla general, simple . Tal hipótesis se llama hipótesis nula . Al mismo tiempo, se considera en paralelo una hipótesis que la contradice , denominada competidora o alternativa . $H_{0}$ $H_1$

La hipótesis planteada necesita ser verificada, lo que se lleva a cabo mediante métodos estadísticos, por lo que la hipótesis se llama estadística. Para probar una hipótesis, se utilizan criterios para aceptar o rechazar la hipótesis.

En la mayoría de los casos, las pruebas estadísticas se basan en una muestra aleatoria de un tamaño fijo para la distribución . En el análisis secuencial , la muestra se forma durante el propio experimento y por lo tanto su tamaño es una variable aleatoria (ver Prueba estadística secuencial ). $(X_{1},X_{2},\puntos,X_{n})$ $n\geq 1$ ${\mathbb P}$

Ejemplo

Sea dada una muestra independiente de una distribución normal , donde es un parámetro desconocido. Entonces , donde es una constante fija , es una hipótesis simple, y la que compite con ella es compleja. $(X_{1},\ldots,X_{n})\sim {\mathcal {N))(\mu,1)$ $\mu$ $H_{0}:\;\{\mu =\mu _{0}\}$ $\mu_{0}$ $H_{1}:\;\{\mu >\mu _{0}\}$

Etapas de la prueba de hipótesis estadísticas

Formulación de la hipótesis principal y de la hipótesis competidora . $H_{0}$ $H_1$
Fijar el nivel de significación , en el que en el futuro se hará la conclusión sobre la validez de la hipótesis. Es igual a la probabilidad de cometer un error Tipo I. $\alfa$
El cálculo de las estadísticas de criterio es tal que: $\fi$
- su valor depende de la muestra inicial ; ${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots, X_{n}):\;\phi =\phi (X_{1},\ldots,X_{n})$
- por su valor, se pueden sacar conclusiones sobre la verdad de la hipótesis ; $H_{0}$
- la estadística , como función de una variable aleatoria , es también una variable aleatoria y obedece a algún tipo de ley de distribución . $\fi$ $\mathbf{X}$
Construcción de la región crítica. Del rango de valores , se distingue un subconjunto de dichos valores, que se puede usar para juzgar discrepancias significativas con la suposición. Su tamaño se elige de tal manera que se mantenga la igualdad . Este conjunto se denomina región crítica . $\fi$ ${\ matemáticas {C}}$ $P(\phi \in {\mathcal {C}})=\alpha$ ${\ matemáticas {C}}$
Conclusión sobre la verdad de la hipótesis. Los valores observados de la muestra se sustituyen en las estadísticas , y al acertar (o no acertar) en el área crítica , se toma la decisión de rechazar (o aceptar) la hipótesis planteada . $\fi$ ${\ matemáticas {C}}$ $H_{0}$

Tipos de región crítica

Existen tres tipos de áreas críticas:

La región crítica de dos lados está definida por dos intervalos , donde se encuentra a partir de las condiciones . $(-\infty ,\;x_{{\alpha /2)))\cup (x_{{1-\alpha /2}}\;+\infty )$ $x_{{\alfa /2}},\;x_{{1-\alfa /2}}$ $P(\phi <x_{\alpha /2})={\frac {\alpha }{2)),\quad P(\phi >x_{1-\alpha /2})=1-{ \frac{\alfa{2}}$
La región crítica de la izquierda está determinada por el intervalo , donde se encuentra a partir de la condición . $(-\infty,\;x_{\alpha})$ $x_{\alfa}$ $P(\phi <x_{\alfa})=\alfa$
La región crítica de la derecha está determinada por el intervalo , donde se encuentra a partir de la condición . $(x_{{1-\alpha }},\;+\infty )$ $x_{{1-\alfa}}$ $P(\phi <x_{{1-\alpha }})=1-\alpha$

Véase también

Notas

↑ 1 2 Ivanovsky R. Teoría de la probabilidad y estadística matemática. Fundamentos, aspectos aplicados con ejemplos y tareas en el entorno Mathcad. — 528 pág. - (Tutorial). - ISBN 978-5-9775-0199-6 .

Literatura

Hipótesis estadística // Gran enciclopedia rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea) universalis
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4077852-6 NKC : ph126614