Identidad Brahmagupta-Fibonacci

La identidad de Brahmagupta-Fibonacci , también llamada identidad de Brahmagupta o identidad diofántica [1] [2] [3] [4] es una identidad algebraica que muestra cómo el producto de dos sumas de cuadrados se puede representar como una suma de cuadrados ( y de dos maneras):

{\begin{alineado}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left( ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left (ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{alineado}}

En términos de álgebra general , esta identidad significa que el conjunto de todas las sumas de dos cuadrados se cierra bajo la multiplicación .

Ejemplo: $(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.$

Historia

Esta identidad se publicó por primera vez en el siglo III d.C. mi. Diofanto de Alejandría en el tratado "Aritmética" (libro III, teorema 19). El matemático y astrónomo indio Brahmagupta en el siglo VI probablemente descubrió de forma independiente y generalizó un poco la identidad al agregar un parámetro arbitrario : $norte$

{\begin{alineado}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left( ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n \left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{alineado}}

Brahmagupta describió la identidad en el tratado "Brahma-sphuta-siddhanta" ("Enseñanzas mejoradas de Brahma", 628) y usó la ecuación de Pell para resolver ( abajo )

En Europa, la identidad apareció por primera vez en el Libro de los cuadrados de Fibonacci ( Liber quadratorum ) (1225).

Representación compleja

Sean números complejos . Entonces la identidad de Brahmagupta-Fibonacci es equivalente a la propiedad multiplicativa del módulo complejo : $a+bi,c+di$

|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.

De hecho, al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos:

|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},

o según la definición del módulo:

(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2 }.

Aplicaciones

Solución de la ecuación de Pell

Como se mencionó anteriormente , Brahmagupta usó su identidad (3), (4) al resolver la ecuación de Pell [5] :

{\ estilo de visualización x^{2}-ny^{2}=1,}

donde es un número natural que no es un cuadrado. Brahmagupta primero seleccionó la solución inicial de la ecuación, luego escribió la identidad de la siguiente forma [5] : $norte$

(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2 }+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

Esto muestra que si los triples y forman una solución a la ecuación x 2 − Ay 2 = k , entonces se puede encontrar un triple más ${\ estilo de visualización x_ {1}, y_ {1}, k_ {1}}$ ${\ estilo de visualización x_ {2}, y_ {2}, k_ {2})$

(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{ 1}k_{2})

y así sucesivamente, obteniendo un número infinito de soluciones.

Un método general para resolver la ecuación de Pell, publicado en 1150 por Bhaskara II ( método "chakravala" ), también se basa en la identidad de Brahmagupta.

Descomposición de un número entero en una suma de dos cuadrados

Combinado con el teorema de Fermat-Euler , la identidad de Brahmagupta-Fibonacci muestra que el producto del cuadrado de un número entero y cualquier número de primos de la forma puede representarse como una suma de cuadrados. ${\ estilo de visualización 4m+1}$

Variaciones y generalizaciones

La identidad se aplicaba originalmente a los números enteros , sin embargo es válida en cualquier anillo o campo conmutativo , como el anillo de polinomios o el campo de los números complejos .

La identidad de Brahmagupta-Fibonacci es un caso especial de la identidad de cuatro cuadrados de Euler o la identidad de Lagrange (teoría de números) . La identidad de cuatro cuadrados también se aplica a los cuaterniones , y la identidad análoga de ocho cuadrados a los octoniones .

Notas

↑ Identidad Brahmagupta-Fibonacci . Consultado el 11 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2020. (indefinido)
↑ Marc Chamberland: Dígitos únicos: Elogio de los números pequeños . Prensa de la Universidad de Princeton, 2015, ISBN 9781400865697 , pág. 60
↑ Stillwell, 2002 , pág. 76
↑ Shanks, Daniel , Problemas resueltos y no resueltos en teoría de números, p.209, American Mathematical Society, Cuarta edición 1993.
↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 195.

Literatura

Historia de las matemáticas. Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era // Historia de las Matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. I.
Joseph, George G. (2000), [ [1] en Google Books The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics] (2nd ed.), Princeton University Press , p. 306, ISBN 978-0-691-00659-8 , < [2] en " Google Books ">
Stillwell, John (2002), [ [3] en Google Books Matemáticas y su historia] (2ª ed.), Springer , p. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6 , < [4] en " Google Books ">

Enlaces

La identidad de Brahmagupta en PlanetMath
Identidad Brahmagupta en MathWorld
Una colección de identidades algebraicas