Identidad de ocho cuadrados

La identidad de ocho cuadrados es la siguiente identidad , que expresa el producto de las sumas de ocho cuadrados como una suma de ocho cuadrados:

${\begin{alineado}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5} ^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{ 2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{ 8}^{2})=\\=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{ 5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+\\+(a_{2}b_{1 }+a_{1}b_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4}+a_{6}b_{5}-a_{5}b_{6}-a_{8 }b_{7}+a_{7}b_{8})^{2}+\\+(a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}+a_{1}b_{3} +a_{2}b_{4}+a_{7}b_{5}+a_{8}b_{6}-a_{5}b_{7}-a_{6}b_{8})^{2} +\\+(a_{4}b_{1}+a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}+a_{1}b_{4}+a_{8}b_{5}- a_{7}b_{6}+a_{6}b_{7}-a_{5}b_{8})^{2}+\\+(a_{5}b_{1}-a_{6}b_ {2}-a_{7}b_{3}-a_{8}b_{4}+a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}+a_ {4}b_{8})^{2}+\\+(a_{6}b_{1}+a_{5}b_{2}-a_{8}b_{3}+a_{7}b_{ 4}-a_{2}b_{5}+a_{1}b_{6}-a_{4}b_{7}+a_{3}b_{8})^{2}+\\+(a_{ 7}b_{1}+a_{8}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{6}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{6 }+a_{1}b_{7}-a_{2}b_{8})^{2}+\\+(a_{8}b_{1}-a_{7}b_{2}+a_{6 }b_{3}+a_{5}b_{4}-a_{4}b_{5}-a_{3}b_{6}+a_{2}b_{7}+a_{1}b_{8} )^{2}.\end{alineado}}$

Historia

Descubierta por primera vez el matemático danés Ferdinand Degen de 1818 , notable identidad fue redescubierta dos veces: Graves en 1843 y Arthur Cayley en 1845 . Cayley lo derivó mientras trabajaba en una generalización de cuaterniones , llamados octoniones . En términos algebraicos, identidad significa que la norma del producto de dos octoniones es igual al producto de sus normas: . $\|a\cdot b\|=\|a\|\cdot \|b\|$

Una afirmación similar es válida para los cuaterniones (" identidad de cuatro cuadrados "), los números complejos (" identidad de Diofanto - Brahmagupta - Fibonacci ") y los números reales. En 1898, Adolf Hurwitz demostró que ni para 16 ( sedenions ), ni para cualquier número de cuadrados distintos de 1, 2, 4 y 8, existe tal identidad.

Enlaces

La identidad de ocho cuadrados de Degen