Identidad vandermonde

La identidad de Vandermonde (o convolución de Vandermonde ) es la siguiente identidad para coeficientes binomiales :

{\displaystyle {m+n \elegir r}=\sum _{k=0}^{r}{m \elegir k}{n \elegir rk))

para cualquier número entero no negativo r , m , n . La identidad lleva el nombre de Alexander Theophilus Vandermonde (1772), aunque fue conocida ya en 1303 por el matemático chino Zhu Shijie . Véase el artículo de Askey sobre la historia de la identidad [1] .

Existe un q -análogo de este teorema, llamado q -identidad de Vandermonde .

La identidad de Vandermonde se puede generalizar de muchas maneras, incluida la identidad

{n_{1}+\dots +n_{p} \elegir m}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{p}=m}{n_{1} \elegir k_{1 }}{n_{2} \elegir k_{2}}\cdots {n_{p} \elegir k_{p}}

Evidencia

Demostración algebraica

En el caso general, el producto de dos polinomios de grados m y n tiene la fórmula

{\biggl (}\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}{\biggr)}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n }b_{j}x^{j}{\biggr)}=\sum_{r=0}^{m+n}{\biggl (}\sum_{k=0}^{r}a_{k }b_{rk}{\biggr)}x^{r},

donde usamos la convención de que a i = 0 para todos los enteros i > m y b j = 0 para todos los enteros j > n . Según el binomio de Newton ,

(1+x)^{m+n}=\sum _{r=0}^{m+n}{m+n \elegir r}x^{r}.

Usando la fórmula binomial de Newton también para las potencias de m y n , y luego la fórmula anterior para el producto de polinomios, obtenemos

{\begin{alineado}\sum _{r=0}^{m+n}{m+n \elegir r}x^{r}&=(1+x)^{m+n}\ \&=(1+x)^{m}(1+x)^{n}\\&={\biggl (}\sum _{i=0}^{m}{m \elegir i}x^ {i}{\biggr)}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}{n \elegir j}x^{j}{\biggr)}\\&=\sum _{r =0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k=0}^{r}{m \elegir k}{n \elegir rk}{\biggr )}x^{r},\ fin{alineado}}

donde las convenciones anteriores para coeficientes polinómicos son consistentes con la definición de coeficientes binomiales ya que dan cero para todos y . ${\ estilo de visualización i> m}$ ${\ estilo de visualización j> n}$

Comparando los coeficientes de x r , obtenemos la identidad de Vandermonde para todos los enteros r con . Para valores grandes de r , ambos lados de la identidad de Vandermonde son cero, según la definición de coeficientes binomiales. $0\leqslant r\leqslant m+n$

Prueba combinatoria

La identidad de Vandermonde también permite una prueba combinatoria usando doble conteo . Supongamos que el comité está formado por m hombres y n mujeres. ¿De cuántas maneras se puede formar un subcomité de r miembros? La respuesta es

{m+n \elegir r}.

Este número es la suma sobre todos los valores posibles k del número de comités formados por k hombres y mujeres: $rk$

\sum _{k=0}^{r}{m \elegir k}{n \elegir rk}.

Prueba geométrica

Tomemos una red rectangular de rx (m+nr) cuadrados. existe

{\binom {r+(m+nr)}{r}}={\binom {m+n}{r}}

caminos que comienzan en la esquina inferior izquierda y terminan en la esquina superior derecha, moviéndose solo hacia la derecha y hacia arriba (como resultado, tenemos r transiciones hacia la derecha y m + nr transiciones hacia arriba (o viceversa) en cualquier orden, y habrá m + n transiciones en total ). Denotemos la esquina inferior izquierda como (0,0) .

Hay caminos que empiezan en (0,0) y terminan en (k,mk) , ya que se deben hacer k saltos a la derecha y mk saltos hacia arriba (la longitud del camino será m ). De manera similar, si hay caminos que comienzan en (k,mk) y terminan en (r,m+nr) , como resultado de que rk salta hacia la derecha y (m+nr)-(mk) se mueve hacia arriba, la longitud del la ruta será rk + (m+ nr)-(mk) = n . Por lo tanto, hay ${\binom {m}{k))$ ${\binom {n}{rk))$

{\binom {m}{k}}{\binom{n}{rk}}

Rutas que comienzan en (0,0) , terminan en (r, m+nr) y pasan por (k, mk) . Este conjunto de caminos es un subconjunto de todos los caminos que comienzan en (0,0) y terminan en (r, m+nr) , por lo que la suma es de k=0 a k=r (porque el punto (k, mk) debe se encuentran dentro del rectángulo) dará el número total de rutas que comienzan en (0,0) y terminan en (r, m+nr) .

Generalizaciones

Identidad generalizada de Vandermonde

Se puede generalizar la identidad de Vandermonde de la siguiente manera:

\sum _{k_{1}+\cdots +k_{p}=m}{n_{1} \elegir k_{1}}{n_{2} \elegir k_{2}}\cdots {n_ {p} \elegir k_{p}}={n_{1}+\puntos +n_{p} \elegir m}

Esta identidad se puede obtener usando la derivación algebraica (como arriba) usando más de dos polinomios, o a través de la doble contabilidad habitual .

Por otro lado, uno puede seleccionar elementos del primer conjunto de elementos, luego seleccionar elementos de otro conjunto, y así sucesivamente, para todos esos conjuntos, hasta que no se seleccione ningún elemento de los conjuntos. Así, los elementos se seleccionan del lado izquierdo de la identidad, que es exactamente lo mismo que se hace del lado derecho. ${\ estilo de visualización \ estilo de texto k_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto n_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto k_ {2}}$ $\textstyle p$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto m}$ $\textstyle p$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto m}$ ${\displaystyle \textstyle n_{1}+\dots +n_{p))$

La identidad Zhu-Vandermonde

La identidad se generaliza a argumentos no enteros. En este caso, la identidad se conoce como identidad Zhu-Vandermonde (ver artículo de Askay [1] ) y toma la forma

{\displaystyle {s+t \elegir n}=\sum _{k=0}^{n}{s \elegir k}{t \elegir nk))

para números complejos generales s y t y enteros no negativos n . La identidad se puede demostrar por analogía con la demostración anterior multiplicando la serie binomial por y y comparando los términos con la serie binomial por . ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {s})$ ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {t})$ ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {s + t))$

Esta identidad se puede reescribir en términos de símbolos de Pochhammer decrecientes.

{\displaystyle (s+t)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}(s)_{k}(t)_{nk))

De esta forma, la identidad se reconoce claramente como una versión sombreada del binomio de Newton (para otras versiones sombreadas del binomio de Newton, consulte Secuencia de polinomios de tipo binomial ). La identidad de Zhu-Vandermonde también puede verse como un caso especial del teorema hipergeométrico de Gauss , que establece que

\;_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (cabina)}{\Gamma (ca)\Gamma (cb)} }

donde es la función hipergeométrica , y es la función gamma . Si tomamos a = − n en la identidad de Zhu-Vandermonde , obtenemos ${\ estilo de visualización \;_{2}F_{1))$ ${\ estilo de visualización \ Gamma (n + 1) = n!}$

{\displaystyle {n \elegir k}=(-1)^{k}{kn-1 \elegir k))

La identidad de Rothe-Hagen es una generalización adicional de esta identidad.

Distribución de probabilidad hipergeométrica

Si ambas partes de la identidad se dividen por la expresión de la izquierda, la suma se vuelve igual a 1 y los términos se pueden interpretar como probabilidades. La distribución de probabilidad resultante se denomina distribución hipergeométrica . Esta distribución corresponde a la distribución de probabilidad del número de bolas rojas en una selección ( sin reemplazo ) de r bolas de una urna que contiene n bolas rojas y m azules.

Véase también

Regla de Pascal
Palo de identidad
Identidad de Rote-Hagen

Notas

↑ 1 2 Askey, 1975 , pág. 59-60.

Literatura

Ricardo Askey . Polinomios ortogonales y funciones especiales. - Filadelfia, PA: SIAM, 1975. - T. 21. - P. viii + 110. — (Serie de Conferencias Regionales en Matemática Aplicada).