Identidad de cuatro cuadrados

La identidad de cuatro cuadrados de Euler es una descomposición del producto de sumas de cuatro cuadrados en una suma de cuatro cuadrados.

Redacción

{\begin{alineado}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{ 1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\\&=(a_{1}b_{1}-a_ {2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+ a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\\&+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{ 3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_ {4}b_{1})^{2}.\end{alineado}}

Esta identidad es válida para los elementos de cualquier anillo conmutativo . Sin embargo, si y son números reales , entonces la identidad se puede reformular en términos de cuaterniones , a saber: el módulo del producto de dos cuaterniones es igual al producto de los módulos de los factores: $ai}$ $bi}$

|a\cdot b|=|a|\cdot |b|

Identidades similares

"identidad de un cuadrado"

a^{2}\cdot b^{2}=(ab)^{2}

significa que el módulo del producto de dos números reales es igual al producto de los módulos de los factores:

|ab|=|a||b|

"la identidad de dos cuadrados" (la llamada identidad de Brahmagupta )

(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}

significa que el módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de los módulos de los factores:

|ab|=|a||b|

"la identidad de ocho cuadrados " significa que el módulo del producto de dos octoniones es igual al producto de los módulos de los factores: $|ab|=|a||b|$ .

En todos estos casos, las funciones resultantes (cuya suma de cuadrados e es igual al producto de cuadrados de las sumas originales) son funciones bilineales de las variables originales.

Sin embargo, no existe una "identidad de dieciséis cuadrados" similar. Pero hay una forma similar (para 2 N cuadrados, donde N es cualquier número natural) esencialmente diferente, ya solo para funciones racionales de las variables originales, según el teorema de A. Pfister. [una]

Historia

Euler introdujo la identidad en 1750 , casi 100 años antes de la llegada de los cuaterniones .

Esta identidad fue utilizada por Lagrange en la demostración de su teorema de la suma de los cuatro cuadrados .

Véase también

Lista de objetos que llevan el nombre de Leonhard Euler

Notas

↑ Véase, por ejemplo: V. V. Prasolov. Polinomios Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine Ch.7 (p.23.2)