La combinatoria topológica es una rama joven de las matemáticas que surgió en el último cuarto del siglo XX y se ocupa de las siguientes cuestiones:
La topología combinatoria utiliza principios combinatorios en topología y evolucionó hacia el campo de la topología algebraica a principios del siglo XX .
En 1978, la situación cambió: los métodos de topología algebraica se utilizaron para resolver el problema en combinatoria , cuando Laszlo Lovas demostró la conjetura de Kneser y comenzó un nuevo estudio de combinatoria topológica .
La demostración de Lovasz utiliza el teorema de Borsuk-Ulam , y este teorema tiene un papel destacado en este nuevo campo. Este teorema tiene muchas versiones equivalentes y análogos y se usa para estudiar problemas de división justa .
En otra aplicación de métodos homológicos a la teoría de grafos, Lovasz demostró las versiones no dirigida y dirigida de la conjetura de Frank — Dado un gráfico G con conexión k , k puntos v 1 ,..., v k ∈ V ( G ) y k números positivos n 1 , n 2 ,..., n k , cuya suma es igual a | V ( G )|, existe una partición { V 1 ,..., V k } del conjunto V ( G ) tal que v i ∈ V i , | V i |= n i y V i forman un subgrafo conexo.
En 1987 , Noga Alon resolvió el problema de la división del collar utilizando el teorema de Borsuk-Ulam. El teorema también se utilizó para estudiar la complejidad computacional de los algoritmos de árbol de decisión lineal y la hipótesis de Aandera-Karp-Rosenberg . Otros campos de estudio son las topologías de conjuntos parcialmente ordenados y los órdenes de Bruchat .
Además, los métodos de topología diferencial ahora tienen una contraparte combinatoria en la teoría discreta de Morse .