Espacio topológico finito

Un espacio topológico finito es un espacio topológico en el que solo hay un número finito de puntos.

Aunque la topología se ocupa principalmente de espacios infinitos, los espacios topológicos finitos se utilizan a menudo como ejemplos y contraejemplos . William Thurston llamó a los espacios topológicos finitos "un tema excéntrico que conduce a la comprensión de muchas preguntas". [una]

Formas de definir la topología

La topología en un conjunto finito se puede definir usando un orden parcial

{\displaystyle x\leq y\iff x\in {\overline {\{y\))))

donde denota el cierre del conjunto . ${\sobrelínea {S))$ $S$

Por el contrario, dado cualquier orden parcial en un conjunto finito, se puede construir una topología única definida por esta propiedad.

Para determinar un orden parcial es conveniente utilizar un grafo dirigido, donde los vértices son puntos en el espacio, y la existencia de un camino ascendente de a corresponde a la relación . $X$ $y$ ${\ estilo de visualización x \ leq y}$

Ejemplos

Colon enlazado .
Un pseudocírculo es un espacio de cuatro puntos definido por un orden parcial $a\leq b,c\leq b,c\leq d,a\leq d$ .
- Débil homotopía equivalente a un círculo.
  - En particular, su grupo fundamental es isomorfo a . $\matemáticas {Z}$

Propiedades

Una propiedad especial de los espacios topológicos es que los conjuntos cerrados también definen una topología. Esta nueva topología se puede obtener invirtiendo el orden parcial, o lo que es lo mismo, invirtiendo la orientación de todas las aristas del grafo correspondiente.

Todo espacio topológico finito es compacto .

El finito T 1 -espacio T 1 es discreto.
- En particular, cualquier espacio finito de Hausdorff es discreto.

Cualquier espacio topológico finito conectado está conectado por caminos .

Para cualquier complejo simplicial abstracto finito, existe un espacio topológico finito débilmente homotópicamente equivalente a él. [2]
- Lo contrario también es cierto: para cualquier espacio topológico finito, existe un complejo simplicial finito débilmente homotópicamente equivalente a él.

La siguiente tabla enumera el número de topologías diferentes en un conjunto C de n elementos. También muestra el número de topologías no equivalentes (es decir, no homeomorfas ). No existe una fórmula simple para calcular estos números; en la Encyclopedia of Integer Sequences , las listas actualmente van hasta . ${\ estilo de visualización n = 18}$

Número de topologías en un conjunto de n puntos

H	Varias topologías	Varias topologías T 0	Topologías no equivalentes	Topologías T 0 no equivalentes
0	una	una	una	una
una	una	una	una	una
2	cuatro	3	3	2
3	29	19	9	5
cuatro	355	219	33	dieciséis
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
ocho	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
diez	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

El número de todas las T 0 -topologías en un conjunto de n puntos y el número de todas las topologías están relacionados por la fórmula $T_{0}(n)$ $T_{0}(n)$ $T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k)$

donde denota el número de Stirling de segunda especie .

{\ estilo de visualización S (n, k)}

Véase también

Enlaces

↑ Thurston, William P.Sobre Prueba y Progreso en Matemáticas (neopr.) . - 1994. - T. 30. - S. 161-177. -doi : 10.1090/ S0273-0979-1994-00502-6.
↑ P. Alexandroff. „Diskrete Räume.“ Matemáticas. Se sentó. 2 (1937), págs. 501–519.

Stong, Robert E. Espacios topológicos finitos // Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . - 1966. - Vol. 123 . - Pág. 325-340 . -doi : 10.2307/ 1994660 .

Citar diarioapellidofuerteprimer nombreroberto eAño de publicacion1966TítuloEspacios topológicos finitosURLhttp://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/stong2.pdfDiarioTransacciones de la Sociedad Matemática AmericanaVolumen123Paginas325–340DOI10.2307/1994660SRES0195042

Grupos de homología singular y grupos de homotopía de espacios topológicos finitos, Michael C. McCord, Duke Math. J. Volumen 33, Número 3 (1966), 465-474.
Barmac, Jonathan. Topología algebraica de espacios topológicos finitos y aplicaciones . — Springer, 2011. - ISBN 978-3-642-22002-9 .
Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. Métodos topológicos en química (indefinido) . - Wiley, 1989. - ISBN 978-0-471-83817-3 .