Los grupos de simetría cuyas operaciones dejan al menos un punto en el espacio en su lugar se denominan grupos de simetría de puntos . Los ejemplos típicos de grupos de puntos son el grupo de rotación, el grupo de transformación lineal , la simetría especular . La noción de grupo puntual también se generaliza al espacio euclidiano de cualquier dimensión. Es decir, este es un grupo de transformaciones que no cambian la distancia entre puntos del espacio n -dimensional, y al mismo tiempo dejan fijo al menos un punto. La última condición distingue los grupos de puntos de los grupos espaciales , que tampoco cambian la distancia entre los puntos, pero desplazan todos los puntos en el espacio. Los grupos de puntos describen la simetría de los objetos espaciales finitos, mientras que los grupos espaciales describen objetos infinitos.
En el espacio tridimensional, los elementos de los grupos de puntos pueden ser rotaciones , reflexiones y sus composiciones. Todos los grupos de puntos son subgrupos del grupo ortogonal . Todos los grupos de puntos tridimensionales que contienen solo rotaciones son subgrupos del grupo de rotación .
El número de grupos de puntos posibles es infinito, pero se pueden dividir en varias familias . Un caso especial de grupos de puntos son los grupos de puntos cristalográficos , que describen la posible simetría de la forma externa de los cristales (y para el espacio de n dimensiones, los objetos periódicos de n dimensiones) . Su número es finito en espacios de cualquier dimensión, ya que la presencia de una red cristalina impone una restricción sobre los posibles ángulos de rotación.