Punto Poncelet

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El punto de Poncelet es objeto del siguiente teorema [1] :

Para cualquier cuádruple de puntos , que no sean ortocéntricos , los círculos de nueve puntos de triángulos ,,,, se cortan en un punto, que se llama el punto de Poncelet . $A B C D$ $A B C$ $BCD$ $ABD$ $ACD$

Nota

El teorema de Poncelet anterior trata con un sistema de 4 puntos que no es el llamado sistema ortocéntrico de 4 puntos.
Si en los cuatro puntos , , , el punto es el punto de intersección de las alturas del triángulo , entonces cualquiera de los cuatro puntos es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres puntos. Tal cuádruple a veces se llama un sistema ortocéntrico de puntos . Para otras propiedades de un sistema ortocéntrico de puntos , ver el artículo ortocentro . $A$ $B$ $C$ $D$ $D$ $A B C$
En la definición anterior para el punto de Poncelet, se puede eliminar la mención del sistema de puntos ortocéntrico , si, por ejemplo, uno lo reemplaza con un sistema de 4 puntos que forman los vértices de un cuadrilátero convexo no degenerado, que automáticamente nunca forman un sistema de puntos ortocéntricos .
Por cierto, si en la definición anterior para el punto de Poncelet, el sistema de 4 puntos sigue siendo ortocéntrico , entonces el punto de Poncelet simplemente se convertirá en el círculo de Euler (un conjunto infinito de puntos) común al sistema de puntos ortocéntrico .

Propiedades del punto de Poncelet

Si es el ortocentro del triángulo , entonces los puntos de Poncelet para los cuádruples de puntos , , , coinciden. $H$ $A B C$ $A B C D$ $ABHD$ ${\ estilo de visualización AHCD}$ $HBCD$

El punto de Poncelet de los cuatro puntos se encuentra en el círculo pedal del punto con respecto al triángulo , es decir, en el circuncírculo del triángulo subdérmico del punto con respecto al triángulo . $A B C D$ $D$ $A B C$ $D$ $A B C$

El punto de Poncelet de los cuatro puntos es el centro de la hipérbola isósceles que pasa por los puntos , , , . $A B C D$ $A$ $B$ $C$ $D$

El punto de Poncelet del cuádruple de puntos se encuentra sobre la circunferencia ceviana del punto con respecto al triángulo , es decir, sobre la circunferencia que contiene las bases de la ceviana del triángulo que pasa por el punto . $A B C D$ $D$ $A B C$ $A B C$ $D$

El punto de Poncelet del cuádruple es el punto medio del segmento que une los puntos y , donde es la imagen del punto en conjugación antigonal con respecto al triángulo $A B C D$ $D$ $D'$ $D'$ $D$ $A B C$

Los puntos de Poncelet de las cuadruplica y coinciden. $A B C D$ ${\ estilo de visualización ABCD'}$

Nota

La conjugación antigonal es lo mismo que la conjugación anti-isogonal. [2]

Literatura

Matemáticas en tareas. Colección de materiales de las escuelas de campo del equipo de Moscú para la Olimpiada Matemática de toda Rusia / Editado por A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov y A. V. Shapovalov .. - Moscú: MTsNMO, 2009 - ISBN 978-5-94057- 477-4 .
Vonk, Jan (2009), El punto de Feuerbach y las reflexiones de la línea de Euler , Forum Geometricorum Vol . 9: 47–55 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG2009Volume9.pdf#page=51 >

Véase también

punto miquel

Notas

↑ Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , pág. 118, tarea 9.
↑ Ver conjugación antigonal // http://yavix.ru/%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BB% D0 %B8%D0%BD%D0%B5%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA% D0 %B8