Punto de redondeo

Un punto de redondeo ( punto circular , punto umbilical o umbilical ) es un punto sobre una superficie regular lisa en el espacio euclidiano en el que las curvaturas normales en todas las direcciones son iguales.

El nombre " ombligo " proviene del francés "ombligo", que, a su vez, proviene del latín "ombligo" - "ombligo".

Propiedades

En el punto de redondeo:

las curvaturas principales de la superficie son las mismas.
La primera forma cuadrática y la segunda forma cuadrática de la superficie son proporcionales.
cualquier dirección tangente es una dirección principal .
El paraboloide conmovedor es un paraboloide de revolución .
La indicatriz de Dupin es un círculo .
La red de líneas de curvatura (es decir, líneas tangentes en cada punto a una de las direcciones principales de la superficie) tiene una característica [1] .
Cualquier punto de redondeo es un punto elíptico en la superficie (si las curvaturas principales son distintas de cero y, por lo tanto, la curvatura gaussiana de la superficie en ese punto es positiva), o un punto de redondeo plano (si las curvaturas principales son cero y, por tanto, la curvatura gaussiana y la curvatura media de la superficie son iguales a cero en este punto). En el primer caso, en una pequeña vecindad del punto de redondeo, la superficie parece una esfera, y en el segundo, parece un plano.

Ejemplos

En espacio euclidiano con métrica : $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Toda la esfera consta de puntos de redondeo elípticos.
Un elipsoide triaxial (con ejes distintos por pares) tiene exactamente cuatro puntos de redondeo, todos los cuales son elípticos y del tipo "limón".
Todo el plano consta de puntos de redondeo planos.
La montura de mono tiene un punto de redondeo plano aislado en el origen.

Hipótesis de Carathéodory

Carathéodory conjeturó que en cualquier superficie convexa cerrada suficientemente lisa M en el espacio euclidiano tridimensional, hay al menos dos puntos de redondeo . Esta conjetura fue posteriormente probada bajo la suposición adicional de que la superficie M es analítica [2] [3] .

Generalización

Sea una variedad suave de dimensión arbitraria en un espacio euclidiano de dimensión superior. Luego, en cada punto , se definen los valores propios del par de la primera y segunda formas cuadráticas dadas en el paquete tangente . Un punto se llama umbilical si el conjunto contiene al menos dos números coincidentes. El conjunto de umbilicales tiene codimensión 2, es decir, está dado por dos ecuaciones independientes. [4] Así, los puntos umbilicales en una superficie genérica están aislados ( ), mientras que en una 3-variedad genérica forman una curva ( ). $METRO$ $n\geq 2$ $x\en M$ $norte$ $\lambda _{1},\ldots,\lambda _{n}$ $TM$ $x\en M$ $\lambda _{1},\ldots,\lambda _{n}$ $METRO$ $\dim=2-2=0$ $\dim=3-2=1$

Literatura

Toponogov VA Geometría diferencial de curvas y superficies. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Rashevsky P. K. Curso de geometría diferencial, - Cualquier edición.
Finikov S.P. Curso de geometría diferencial, - Cualquier edición.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Cualquier edición.
Diferenciación geométrica IR de Porteous para la inteligencia de curvas y superficies - Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Conferencias de Struik DJ sobre geometría diferencial clásica, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reimpreso por Dover Publ., Inc., 1988.

Notas

↑ 1 2 Remizov A. O. Construcción multidimensional de Poincaré y singularidades de campos elevados para ecuaciones diferenciales implícitas, CMFD, 19 (2006), 131-170.
↑ Zbl 1056.53003
↑ Ivanov V. V. Hipótesis analítica de Carathéodory, Sib. Matemáticas. j., 43:2 (2002), 314-405.
↑ Arnold V. I. Métodos matemáticos de la mecánica clásica, - Cualquier edición. (Apéndice 10. Multiplicidades de frecuencias naturales y elipsoides dependientes de parámetros).