Fórmula de Euler

La fórmula de Euler relaciona el exponente complejo con las funciones trigonométricas . El nombre de Leonhard Euler , quien lo introdujo.

La fórmula de Euler establece que para cualquier número real se cumple la siguiente igualdad: $X$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

donde es una de las constantes matemáticas más importantes , definida por la siguiente fórmula: , $mi$ $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

i

es la unidad imaginaria .

Historia

La fórmula de Euler fue citada por primera vez en un artículo del matemático inglés Roger Cotes ( asistente de Newton ) "Logometria" ( lat. Logometria ), publicado en la revista " Philosophical Transactions of the Royal Society " en 1714 [1] y reimpreso en el libro " Armonía de medidas" ( lat. Harmonia mensurarum ), que se publicó en 1722, después de la muerte del autor [2] . Kots lo citó como una pequeña oración entre muchas construcciones geométricas, que, luego de ser traducida al lenguaje matemático moderno y corregir un error en el signo, tiene la forma [3] :

\ln(\cos x+i\sin x)=ix

Euler publicó la fórmula en su forma habitual en un artículo de 1740 y en el libro "Introducción al análisis de los infinitesimales" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [4] , construyendo la prueba sobre la igualdad de series de potencias infinitas . expansiones de los lados derecho e izquierdo. Ni Euler ni Kots imaginaron una interpretación geométrica de la fórmula: el concepto de números complejos como puntos en el plano complejo apareció unos 50 años después con K. Wessel .

Fórmulas derivadas

Usando la fórmula de Euler, puede definir las funciones y de la siguiente manera: $\pecado$ $\ cos$

\sen x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}}

{\textstyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}

Además, podemos introducir el concepto de funciones trigonométricas de una variable compleja. Sea entonces: $x=yo$

\sin iy={\frac {e^{{-y}}-e^{y}}{2i}}=i{\mathop {{\mathrm {sh}}}}\,y

\cos iy={\frac {e^{{-y}}+e^{y}}{2}}={\mathop ({\mathrm {ch}}}}\,y

La conocida identidad de Euler , que relaciona cinco constantes matemáticas fundamentales:

e^{{i\pi}}+1=0

es un caso especial de la fórmula de Euler para . $x=\pi$

Aplicaciones en teoría de números

En la teoría analítica de números , a menudo se consideran sumas especiales de la forma , donde se considera un determinado conjunto de objetos y es una función que refleja las propiedades estudiadas de los objetos. $\sum \limits _{x\in X}{e^{2\pi if(x)))$ $X$ $f:\ X\to {\mathbb {R} }$

Para la teoría de números, que estudia los números enteros , las identidades de indicadores derivadas de la fórmula de Euler con respecto a un número entero arbitrario son de primordial importancia . $norte$

\sum \limits _{k=1}^{p}{e^{2\pi {\frac {nk}{p}}i}}=p[p|n]=\left\{{ \begin{matriz}p,&n\equiv 0{\pmod {p}}\\0,&n\not \equiv 0{\pmod {p}}\end{matriz}}\right.

\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi n\alpha i}}=[n=0]=\left\{{\begin{matriz}1,&n=0 \\0,&n\no =0\end{matriz}}\right.

Aplicación en análisis complejo

Gracias a la fórmula de Euler apareció el llamado registro trigonométrico y exponencial de un número complejo :. $x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{{i\varphi }}$

Además, las fórmulas para elevar un número complejo a una potencia arbitraria pueden considerarse una consecuencia significativa: , . El significado geométrico de esta fórmula es el siguiente: cuando un número se eleva a una potencia , su distancia al centro se eleva a una potencia y el ángulo de rotación con respecto al eje aumenta en un factor. $x=|x|e^{{i\varfi}}$ $x^{n}=|x|^{n}e^{{ni\varphi}}$ $X$ $norte$ $norte$ $BUEY$ $norte$

La fórmula de exponenciación es cierta no solo para números enteros , sino también para números reales. En particular, la notación exponencial de un número permite encontrar raíces de cualquier grado a partir de cualquier número complejo. $norte$

Relación con la trigonometría

La fórmula de Euler proporciona un vínculo entre el cálculo y la trigonometría , y también permite que las funciones de seno y coseno se interpreten como sumas ponderadas de una función exponencial :

{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}+e^{-ix} \over 2))

{\textstyle \sin x=\mathrm {Im} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}

Las ecuaciones anteriores se pueden obtener sumando o restando las fórmulas de Euler :

e^{{ix}}=\cos x+i\sen x\;

{\textstyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos xi\sin x\;}

seguida de una solución de seno o coseno.

Además, estas fórmulas pueden servir como definición de funciones trigonométricas de una variable compleja. Por ejemplo, sustituyendo x = iy , obtenemos :

\cos(iy)={e^{{-y}}+e^{{y}} \over 2}=\cosh(y)

\sin(iy)={e^{{-y}}-e^{{y}} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{{y}}-e^{{-y }} \sobre 2}=i\sinh(y).

Los exponenciales complejos simplifican los cálculos trigonométricos porque son más fáciles de manipular que los componentes sinusoidales. Un enfoque consiste en convertir sinusoides en las expresiones exponenciales correspondientes. Después de la simplificación, el resultado de la expresión sigue siendo real. Por ejemplo :

{\begin{alineado}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot {\frac {(e ^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{{i(x+y )}}+e^{{i(xy)}}+e^{{i(-x+y)}}+e^{{i(-xy)}}}{2}}\\&={ \frac {1}{2}}\left[\underbrace {{\frac {e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x+y)}}}{2}} }_{{\cos(x+y)}}+\soporte {{\frac {e^{{i(xy)}}+e^{{-i(xy)}}}{2}}}_ {{\cos(xy)}}\derecho].\end{alineado}}

La esencia de otro enfoque es representar las sinusoides como partes reales de una expresión compleja y manipularlas directamente con una expresión compleja. Por ejemplo :

{\begin{alineado}\cos(nx)&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i( n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot (e ^{{ix}}+e^{{-ix}}-e^{{-ix}})\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n- 1)x}}\cdot \underbrace {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}_{{2\cos(x)}}-e^{{i(n-2) )x}}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{alineado}}

Esta fórmula se utiliza para calcular recursivamente los valores de cos( nx ) para valores de n enteros y valores de x arbitrarios (en radianes).

Prueba

La demostración de la fórmula de Euler se puede realizar mediante la serie de Maclaurin . Expandamos la función en la serie de Taylor en la vecindad del punto a = 0 (en la serie de Maclaurin) en potencias de . Obtenemos: $e^{{ix}}$ $X$

$e^{{ix}}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3 }}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\ fracción {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!} }+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$

Pero

$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+ \ldots=\cos x$

${\frac {x}{1!)}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!)}}-{\frac { x^ {7}}{7!}}+\ldots =\sen x$

Por lo tanto , lo que se requería para ser probado . $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Demostración visual

Se sabe que Las siguientes imágenes ilustran que el límite es igual a un punto ubicado en el círculo unitario, y la longitud del arco desde este punto hasta el punto 1 es . Esto, en particular, se debe al hecho de que . $e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ $e^{i\varphi }=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {i\varphi }{n}}\right)^{n}$ $\varphi$ $\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=8
n=16

El proceso de cambio tras cambio también se puede demostrar visualmente a través de la derivada . Es bien sabido que y El mismo hecho sigue siendo cierto para el valor complejo de la función. Considerando la función , obtenemos . Dado que, en la representación geométrica de los números complejos, la multiplicación por es similar al giro de 90 grados, la representación gráfica de la función y su derivada será similar al dibujo de la acción de la fuerza centrípeta , cuyo significado físico se conoce. ${\displaystyle e^{\varphi i))$ $\varphi$ $\left({e^{x}}\right)'=e^{x}$ ${\displaystyle \left({e^{f(x)}}\right)'=f'(x)e^{f(x)))$ ${\ Displaystyle f (\ varphi) = e ^ {\ varphi i))$ ${\ estilo de visualización f' (\ varphi) = si (\ varphi)}$ $i$ ${\ Displaystyle f (\ varphi) = e ^ {\ varphi i))$

La forma exponencial de un número complejo

Las formas exponencial y trigonométrica de los números complejos están unidas por la fórmula de Euler.

Sea un número complejo en forma trigonométrica de la forma . Según la fórmula de Euler, la expresión entre paréntesis se puede reemplazar por una expresión exponencial. Como resultado, obtenemos: $z$ $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z=re^{{i\varfi}}

Esta notación se llama la forma exponencial del número complejo. Al igual que en la forma trigonométrica, aquí , . $r=|z|$ ${\ estilo de visualización \ varphi = \ arg z}$

Notas

↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : revista. - 1714-1716. — vol. 29 . — Pág. 32 . -doi : 10.1098/ rstl.1714.0002 . Archivado desde el original el 6 de julio de 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - Pág. 28. Copia de archivo del 7 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ González-Velasco Enrique A. Viaje por las Matemáticas: Episodios Creativos en su Historia . - 2011. - Pág. 182. Copia de archivo fechada el 19 de octubre de 2014 en la Wayback Machine .
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.

Literatura

Gutov A. Z. Un análogo de la fórmula de Euler para seno y coseno generalizados // Métodos modernos de ciencias físicas y matemáticas. Actas de la conferencia internacional. Águila, 2006. S. 35-37. Archivado el 25 de septiembre de 2020 en Wayback Machine .
Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para Investigadores e Ingenieros) . — M .: Nauka, 1973.
Stillwell D. Matemáticas y su historia . - Moscú-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004. - 530 p. Archivado el 7 de junio de 2015 en Wayback Machine .

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran ruso Britannica (en línea)