Medida de conjunto

La medida de un conjunto es una característica numérica de un conjunto, intuitivamente puede entenderse como la masa de un conjunto con una determinada distribución de masa en el espacio . El concepto de medida de un conjunto surge en la teoría de funciones de variable real durante el desarrollo del concepto de integral [1] .

En realidad, una medida es una determinada función numérica que asigna a cada conjunto (de una determinada familia de conjuntos) algún número no negativo. Además de ser no negativa, una medida como función también debe tener la propiedad de aditividad: la medida de la unión de conjuntos disjuntos debe ser igual a la suma de sus medidas. Cabe señalar que no todos los conjuntos son medibles : para cada función de una medida, generalmente se entiende una determinada familia de conjuntos (llamados medibles con respecto a la medida dada) para los que existe la medida.

Un caso especial de una medida es la medida de Lebesgue para subconjuntos , que generaliza el concepto de volumen , área o longitud al caso de conjuntos que son más generales que los limitados por una superficie lisa. $\mathbb{R} ^{n}$ $(n=3)$ $(n=2)$ $(n=1)$

Definiciones

Sea un conjunto dado con alguna clase distinguida de subconjuntos , se supone que esta clase de subconjuntos es a veces un anillo de conjuntos o un álgebra de conjuntos , en el caso más general, un semicírculo de conjuntos . $X$ ${\ matemáticas {F}}$

Una función se llama medida (a veces volumen ) si satisface los siguientes axiomas: $\mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]$

$\mu (\varnada)=0$ — la medida del conjunto vacío es igual a cero;
Para cualquier conjunto que no se superponga $A,B\in {\mathcal {F)),$ $A\cap B=\varnada$ $\mu (A\taza B)=\mu (A)+\mu (B)$ — la medida de la unión de conjuntos disjuntos es igual a la suma de las medidas de estos conjuntos ( aditividad, aditividad finita ).

El primer axioma es conveniente, pero en cierto modo redundante: basta con suponer que hay al menos un conjunto de medida finita , de lo que se seguirá que la medida del conjunto vacío será igual a cero (en caso contrario, sumando un conjunto vacío a cualquier conjunto de medida finita cambiaría la medida, a pesar de que el conjunto no ha cambiado).

Del segundo axioma se sigue directamente (en el caso de un anillo de conjuntos) que la medida de la unión de cualquier número finito de conjuntos disjuntos es igual a la suma de las medidas de estos conjuntos:

\mu \left(\bigcup \limits _{{i=1}}^{n}A_{i}\right)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu (A_{ i})

En el caso de una definición sobre un semicírculo de conjuntos, esta propiedad de aditividad finita suele tomarse en lugar del segundo axioma, ya que en general la aditividad finita no se sigue de la aditividad por pares [2] .

Medida contablemente aditiva

La aditividad (finita) de una medida no implica en general que se cumpla una propiedad similar para una unión contable de conjuntos disjuntos. Hay una clase importante especial de medidas llamadas medidas contablemente aditivas .

Sea dado un conjunto con álgebra distinguida . $X$ $\sigma$ ${\ matemáticas {F}}$

Una función se llama medida contablemente aditiva (o -aditiva ) si satisface los siguientes axiomas: $\mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]$ $\sigma$

$\mu (\varnada)=0.$
( -aditividad ) Si es una familia contable de conjuntos disjuntos por pares de , es decir , entonces: $\sigma$ $\{E_{n}\}_{{n=1}}^{\infty}\subset {\mathcal {F}}$ ${\ matemáticas {F}}$ $E_{i}\cap E_{j}=\varnada,\;i\neq j$

\mu \left(\bigcup \limits _{{n=1}}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\mu ( E_{n})

Notas

A menos que se indique explícitamente lo contrario, por lo general se implica una medida contablemente aditiva .
Obviamente, cualquier medida contablemente aditiva es finitamente aditiva, pero no viceversa.
Si la medida de todo el espacio es finita, es decir , entonces tal medida se llama finita . De lo contrario, la medida es infinita . $\mu (X)<\infty$

Usualmente, los conjuntos que son medibles con respecto a una medida dada constituyen su propia subclase en la clase de todos los subconjuntos del espacio . Y, aunque hay varios esquemas generales que permiten extender las medidas a grandes clases de conjuntos medibles, a veces extender una medida solo es posible a costa de perder las propiedades únicas de la medida original. Por ejemplo, la medida de Lebesgue en espacios euclidianos de dimensión finita es invariante bajo los movimientos de este espacio. Cualquier extensión de la medida de Lebesgue a la clase de todos los subconjuntos del espacio euclidiano ya no puede ser invariante incluso solo bajo cambios (ver el ejemplo de un conjunto no medible ). Entonces, desde un punto de vista práctico, tales continuaciones pierden todo valor. $X$

En el plano recto y bidimensional, hay un número infinito de extensiones de la medida de Lebesgue del álgebra de Borel al conjunto de todos los subconjuntos acotados que conserva la aditividad finita de la medida y tales que los conjuntos congruentes tienen la misma medida. A partir de la dimensión 3, esto es imposible. $\sigma$

Definiciones relacionadas

Un triple se llama espacio con una medida si hay un espacio medible , y es una medida definida en él. $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb{R}$
Si es una medida de probabilidad , entonces dicho espacio con una medida se llama espacio de probabilidad . $\mu$
El soporte de una medida es el conjunto cerrado más pequeño en el que se concentra la medida. El portador de la medida generalmente se denota por . Más precisamente, es el complemento del mayor conjunto abierto tal que . $\mu$ $\operatorname {suplemento} (\mu)$ $\operatorname {suplemento} (\mu)$ $\Omega$ ${\ estilo de visualización \ mu (\ Omega) = 0}$

Propiedades

De la definición se deduce que la medida tiene al menos las siguientes propiedades (se supone que la medida se define al menos en un semicírculo de conjuntos):

La medida del conjunto vacío es cero. $\mu (\varnada)=0$
- Esta propiedad se asume como un axioma en la definición de medida, o se supone que hay al menos un conjunto cuya medida es finita . De esto se sigue directamente que la medida del conjunto vacío debe ser igual a cero (de lo contrario, agregar el conjunto vacío a un conjunto de medida finita aumentará la medida de este conjunto, aunque el conjunto no cambiará). El caso de la infinitud de la medida de todos los conjuntos no tiene interés ni sentido práctico. Por lo tanto, la existencia de conjuntos de medida finita está implícita desde el principio.
- De la igualdad de la medida de un conjunto a cero, en el caso general, no se sigue que este conjunto esté vacío. Es habitual hablar de conjuntos de medida cero .

Monotonicidad: la medida de un subconjunto no es mayor que la medida del propio conjunto. $A\subconjunto B\Rightarrow \mu (A)\leqslant \mu (B)$

Esta es una propiedad intuitiva: cuanto más "pequeño" es el conjunto, más pequeño es su "tamaño".

La medida de la diferencia de conjuntos anidados es igual a la diferencia de las medidas de estos conjuntos $A\subconjunto B\Flecha derecha \mu (B\barra invertida A)=\mu (B)-\mu (A)$

La medida de la unión de dos conjuntos arbitrarios es igual a la suma de las medidas de estos conjuntos menos la medida de su intersección (si esta última está definida): $\mu (A\taza B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\tapa B)$ ( fórmula de inclusión-exclusión )

Como consecuencia,

\mu (A\cup B)\leqslant \mu (A)+\mu (B)

Propiedades de las medidas contablemente aditivas

Las medidas contablemente aditivas, además de las indicadas, también tienen las siguientes propiedades.

Continuidad: la medida del límite de una sucesión infinita de conjuntos anidados es igual al límite de la sucesión de medidas de estos conjuntos: $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}...\supseteq A=\bigcap _{{n=1}}^{\infty}A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$
- Se supone aquí que la medida del primer conjunto es finita.
Esta propiedad también es válida para la secuencia "inversa" de conjuntos $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}...\subseteq A=\bigcup _{{n=1}}^{\infty}A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$

Monotonicidad contable significa que la medida de un subconjunto de una unión contable de conjuntos no es mayor que la suma de las medidas de estos conjuntos: $A\subseteq \bigcup_{{i=1}}^{\infty}A_{i}\Rightarrow \mu (A)\leqslant \sum_{{i=1}}^{\infty}\mu (A_ {i})$

Ejemplos

La medida de Jordan es un ejemplo de una medida finitamente aditiva.
La medida de Lebesgue es un ejemplo de una medida contablemente aditiva.
La probabilidad es un ejemplo de una medida finita.
Medida de Hausdorff
medida borel
medida de haar
Un ultrafiltro se puede definir como una medida finitamente aditiva con valores en un conjunto de dos elementos $\{0,1\}$

Medidas continuadas

A menudo es difícil e innecesario definir una medida explícitamente en cada conjunto a partir del correspondiente sigma-álgebra (anillo o álgebra) de conjuntos, ya que basta con definir la medida en alguna clase de conjuntos medibles, y luego, utilizando procedimientos estándar ( y bajo condiciones conocidas), continúe con el anillo, álgebra o sigma-álgebra de conjuntos generados por esta clase.

Continuación del semicírculo

La clase de conjuntos medibles en su estructura debe ser un anillo de conjuntos (si la medida es aditiva) o una sigma-álgebra de conjuntos (si la medida es contablemente aditiva), sin embargo, para especificar una medida, en ambos casos es suficiente para definirlo en un semicírculo de conjuntos, entonces la medida puede continuarse de manera única hasta el anillo mínimo (sigma-álgebra mínima) de conjuntos que contienen el semicírculo original.

Deje que la clase inicial de conjuntos medibles tenga la estructura de un semicírculo: contiene un conjunto vacío y para cualquier conjunto A y B por su diferencia admite una partición finita en conjuntos medibles de , es decir, hay un conjunto finito de conjuntos disjuntos de tal que ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

A\setminus B=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}

Denotemos la clase de todos los subconjuntos del espacio bajo consideración que admiten una partición finita en conjuntos de . La clase es cerrada bajo las operaciones de diferencia, intersección y unión de conjuntos, y por lo tanto es un anillo de conjuntos que contiene (y, obviamente, mínimo). Cualquier función aditiva on puede extenderse únicamente a una función aditiva on si y solo si sus valores son compatibles con . Este requisito significa que para cualquier colección de conjuntos disjuntos y de , si su unión es la misma, entonces la suma de sus medidas también debe ser la misma: ${\ matemáticas {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\ matemáticas {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $\mu$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\ matemáticas {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $B_{1},B_{2},...,B_{m}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Si , entonces .

\bigcup \limits _{{i=1}}^{{n}}A_{i}=\bigcup \limits _{{j=1}}^{{m}}B_{j}

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\mu (A_{i})=\sum \limits _{{j=1}}^{{m}}\mu (B_{ j})

Ejemplo

Sean y sean clases de conjuntos medibles sobre espacios y que tengan la estructura de un semicírculo. Conjuntos de la forma , donde , forman un semicírculo de conjuntos sobre el espacio . ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $A\veces B$ $A\in {\mathcal {F}}_{1}$ $B\in {\mathcal {F}}_{2}$ ${\ matemáticas {F}}$ $X=X_{1}\veces X_{2}$

Si las medidas y se dan en y , entonces se define una función aditiva al satisfacer el requisito de consistencia. Su extensión al anillo mínimo que contiene se llama producto directo de las medidas y se denota por . Si las medidas originales eran sigma-aditivas en sus dominios de definición, entonces la medida también será sigma-aditiva. Esta medida se utiliza en la teoría de integrales múltiples (ver el teorema de Fubini ). ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ ${\ matemáticas {F}}$ $\mu (A\veces B)=\mu _{1}(A)\mu _{2}(B)$ ${\ matemáticas {F}}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $\mu =\mu _{1} \otimes \mu _{2}$ $\mu$

Variaciones y generalizaciones

Una de las opciones para generalizar el concepto es la carga , que puede tomar valores negativos

A veces, una medida se considera como una función arbitraria finitamente aditiva con un rango en un semigrupo abeliano : para una medida contablemente aditiva, el rango natural de valores es un semigrupo abeliano topológico ( se necesita topología para poder hablar sobre el convergencia de una serie de medidas de un número contable de partes medibles, sobre las cuales en la definición de aditividad contable, se parte un conjunto medible). Un ejemplo de una medida no numérica es una medida con valores en un espacio lineal , en particular una medida con valores de proyector involucrada en la formulación geométrica del teorema espectral .

Notas

↑ Sazonov V.V. Medida de un conjunto // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 636. - 1184 sb. : enfermo. — 150.000 copias.
↑ Contraejemplo para el caso de un semicírculo: sea = , = , y defina la función de la siguiente manera: , , , . Es fácil ver que la aditividad por pares y los axiomas del semicírculo se cumplen aquí, pero no hay una aditividad finita. $X$ $\{1,2,3,4\}$ ${\ matemáticas {F}}$ $\{\varnada,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},X\}$ $\mu$ $\mu (\varnada)=0$ $\mu (\{1\})=\mu (\{2\})=\mu (\{3\})=\mu (\{4\})=1$ $\mu (\{1,2\})=2$ $\mu (X)=3$

Literatura

Vulikh, B. Z. Un curso breve en la teoría de funciones de una variable real (introducción a la teoría de la integral). — M .: Nauka, 1973. — 352 p.
Khalmosh P. Teoría de las medidas. - M.: Editorial de literatura extranjera , 1953. - 282 p. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (el libro es una rareza bibliográfica en 2011)
A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional Nauka, 1976.
Bogachev V. I. Fundamentos de la teoría de la medida, 2ª ed., en dos volúmenes, Centro de Investigación de Dinámica Regular y Caótica, Moscú-Izhevsk, 2006.
Bogachev V. I., Smolyanov O. G. Análisis real y funcional. Editores: Centro de Investigación "Dinámica Regular y Caótica", Instituto de Investigación Informática, 2009. 724 págs. ISBN 978-5-93972-742-6 .
Bogachev V.I., Medidas gaussianas, Nauka, Moscú , 1997.
Bogachev V.I., Medidas diferenciables y el cálculo de Mallyavin, Centro de Investigación de Dinámica Regular y Caótica, Moscú, 2008.

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