Las ecuaciones de Gassmann son ecuaciones que relacionan los parámetros elásticos de un medio poroso saturado con un líquido o gas. Se utilizan para evaluar las propiedades elásticas de las rocas (la velocidad de propagación de las ondas elásticas) en estudios geofísicos de la corteza terrestre. Obtenido en la aproximación de la teoría lineal de la elasticidad , en la que un material isotrópico homogéneo se caracteriza por tres parámetros independientes (o cantidades derivadas de ellos), por ejemplo: módulo de compresión aparente , módulo de corte y densidad .
El modelo de medio poroso utilizado en las ecuaciones de Gassmann supone que el material consta de fases sólida y líquida (gaseosa). La fase sólida forma una estructura rígida (esqueleto) caracterizada por sus módulos macroscópicos de elasticidad. La fase líquida (gaseosa) llena completamente el espacio vacío. En relación con la física de las rocas sedimentarias , la fase sólida está representada por cristales o granos de minerales formadores de rocas, y la fase líquida está representada por fluidos contenidos en el espacio poroso de la roca. Se supone que el espacio vacío se distribuye uniformemente dentro de dicho medio y sus propiedades son independientes de la dirección ( isotrópicas ). La característica principal del espacio vacío es la porosidad : la relación entre el volumen de los vacíos y el volumen de la muestra completa: .
De manera similar al método de los medios "efectivos" , al derivar las ecuaciones de Gassmann, se selecciona un material isotrópico tan homogéneo que, bajo una carga aplicada, "en promedio" se comporta de la misma manera que el medio poroso microno homogéneo en estudio. Así, el sistema bifásico considerado en el modelo de Gassmann se caracteriza por los siguientes parámetros:
Estos últimos dependen tanto de las propiedades de la sustancia mineral como de muchos otros factores (la geometría del espacio poroso, la naturaleza de los contactos de los granos, la presión efectiva , etc.) y, por regla general, no pueden calcularse explícitamente. El sistema de ecuaciones de Gassmann conecta las características enumeradas entre sí, lo que permite expresar algunos parámetros en términos de otros al resolver varios problemas aplicados (por ejemplo , el problema de reemplazo de fluidos ). Una de las suposiciones utilizadas en este modelo es la suposición de que el módulo de corte de un medio bifásico es independiente de las propiedades del fluido que llena los poros. Por lo tanto (sin embargo ). La densidad del medio es un promedio ponderado entre la densidad de la fase sólida y la densidad del fluido. Por lo tanto, el significado principal de las ecuaciones de Gassmann radica en la expresión del módulo de compresión total de medios porosos saturados. En su forma más general, esta expresión tiene la siguiente forma:
Cualquiera de los cinco parámetros incluidos en esta ecuación como argumento puede expresarse en términos de los otros cuatro.
Para calcular los módulos elásticos efectivos de un material saturado se utiliza la forma explícita de las ecuaciones de Gassmann:
Estas expresiones permiten estimar el grado de influencia de los parámetros elásticos del fluido de relleno sobre las propiedades de la roca. En base a ellos, se pueden calcular otras características elásticas de un medio poroso saturado. Por ejemplo:
Velocidad de onda longitudinal : velocidad de onda cortante :Cabe señalar que, a pesar de que las propiedades del fluido no afectan el módulo de corte de la roca, la velocidad de la onda de corte cambia con el cambio en el tipo de fluido debido a la influencia de la densidad.
Para calcular las características elásticas de un material poroso saturado utilizando la forma explícita de la ecuación de Gassmann, es necesario establecer los parámetros y . Para ello, se suelen utilizar relaciones empíricas. El modelo generalizado de la porosidad crítica de Nur (A.Nur), que está en buen acuerdo con los experimentos y confirmado por los resultados de la simulación numérica [1] , ha encontrado una amplia aplicación :
Aquí , es la porosidad crítica y y son los coeficientes de control calibrados frente a los resultados de la medición.
El significado físico de porosidad crítica es el volumen relativo de vacíos por encima del cual el material pierde rigidez (por ejemplo, el punto de transición de arenisca a arena o de roca saturada a suspensión). Para un valor de porosidad por encima del valor crítico, . En este caso, la ecuación de Gassmann se convierte en la ecuación de Wood .
Los valores de los parámetros y dependen de la geometría del espacio vacío, la naturaleza del contacto y la forma de los granos, y otras características del esqueleto de la roca.
Como regla general, la composición de la fase sólida de las rocas reales incluye varios minerales formadores de rocas. En este caso , se utilizan varias técnicas de promediación para evaluar los módulos elásticos de la sustancia mineral . Como regla general, el método de campo autoconsistente da buenos resultados . También se puede usar el método de promedio de Hill .
La ecuación de Wood se puede utilizar para estimar el módulo de compresión total de un fluido con su composición multicomponente . Sin embargo, debe tenerse en cuenta que esta ecuación es aplicable solo a componentes inmiscibles. Por ejemplo, para evaluar las propiedades del petróleo del yacimiento que contiene una cierta cantidad de gas natural en estado disuelto, puede dar grandes errores.
Las ecuaciones de Gassmann se pueden utilizar tanto para determinar los módulos elásticos estáticos como en el caso dinámico (por ejemplo, para estimar las velocidades de propagación de ondas sísmicas en rocas). Sin embargo, al derivar las ecuaciones, se utilizan los siguientes supuestos, que limitan el alcance de esta teoría:
La primera suposición impone restricciones en el rango de frecuencia de las señales cuando se usa la teoría de Gassmann en problemas dinámicos. A una longitud de onda suficientemente corta, la fase líquida se "deslizará" en relación con el esqueleto de la roca. Como resultado, se observará la dispersión de frecuencia de la velocidad de onda y la disipación de energía. Estos efectos se consideran dentro de la teoría más general de Biot-Nikolaevskii , de la cual se pueden derivar las ecuaciones de Gassmann como un caso especial.
El rango de frecuencia dentro del cual la teoría de Gassmann describe bien los datos experimentales generalmente se estima en el 10% de la frecuencia de resonancia de Biot :
es la viscosidad dinámica del fluido,
- coeficiente de permeabilidad del material ( permeabilidad absoluta de la roca ).
Con oscilaciones de mayor frecuencia en un medio saturado poroso y permeable, además de las ondas longitudinales y transversales, surge una onda longitudinal del segundo tipo .
Para la mayoría de las rocas reales, la frecuencia de resonancia de Biot es significativamente superior a 20-30 kHz. Esto hace posible utilizar las ecuaciones de Gassmann en el proceso de interpretación de datos sísmicos y sónicos .
La siguiente tabla muestra un ejemplo de estimación de la frecuencia límite de aplicabilidad de las ecuaciones de Gassmann para algunos valores típicos de porosidad y permeabilidad de rocas reales saturadas de agua.
Ejemplo de estimación de frecuencia de corte (kHz): | ||||
---|---|---|---|---|
porosidad | ||||
permeabilidad | diez% | veinte% | treinta% | 40% |
= 1 mD | 882 | 1764 | 2646 | 3528 |
= 10 mD | 88 | 176 | 265 | 353 |
= 100 mD | 9 | Dieciocho | 27 | 35 |
En varios problemas de aplicación, es conveniente utilizar otras representaciones de las ecuaciones de Gassmann, que pueden derivarse de la forma básica.
El valor del coeficiente de Biot está determinado por las propiedades del espacio vacío. Se puede demostrar que este parámetro caracteriza la relación entre el cambio en el volumen de poros y el cambio en el volumen total de la roca durante la deformación.
La principal desventaja de las ecuaciones de Gassmann en la práctica es la necesidad de especificar las propiedades elásticas del esqueleto , que dependen de muchos factores y son difíciles de evaluar.
También es importante tener en cuenta la limitación en la composición de frecuencias: a una frecuencia de oscilaciones elásticas mayor que la frecuencia de Biot , la ecuación de Gassmann describe mal las características elásticas de los medios bifásicos debido a que se descuida el movimiento del fluido en relación con el fase sólida.
Usando las ecuaciones anteriores, es posible estimar cómo cambiarán las propiedades de una roca saturada con propiedades elásticas conocidas si se cambia el tipo de fluido saturado. Al mismo tiempo, si se conocen los módulos elásticos de los fluidos, así como el componente mineral de la roca, entonces para resolver el problema, no se requiere establecer las características elásticas del esqueleto de la roca. Esta tarea es de gran importancia práctica para evaluar el grado de influencia de los yacimientos de petróleo o gas en los resultados de los estudios geofísicos.