Fracción continua

Una fracción continua (o fracción continua ) es una expresión matemática finita o infinita de la forma

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1 {a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots )))))),

donde es un entero , y todos los demás son números naturales (enteros positivos) [1] . En este caso, los números se denominan cocientes incompletos o elementos de la fracción continua [2] . $un_{0}$ $un$ $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\puntos$

Cualquier número real se puede representar como una fracción continua (finita o infinita). Un número se representa como una fracción continua finita si y sólo si es racional .

El propósito principal (pero de ninguna manera el único) de las fracciones continuas es que te permiten encontrar buenas aproximaciones de números reales en forma de fracciones ordinarias. Las fracciones continuas se utilizan ampliamente en teoría de números y matemáticas computacionales , y sus generalizaciones han demostrado ser extremadamente útiles en cálculo y otras ramas de las matemáticas. También se utilizan en física, mecánica celeste , ingeniería y otros campos de actividad aplicados.

Expansión en fracciones continuas

Cualquier número real puede ser representado por una fracción continua (finita o infinita, periódica o no periódica) , donde $X$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots]$

a_{0}=\lpiso x\rpiso,\quad x_{0}=x-a_{0},

a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}} -a_{1},

\puntos

a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n- 1}}}-a_{n},

\puntos

donde denota la parte entera del número . $\lpiso x\rpiso$ $X$

Para un número racional, esta expansión termina cuando llega a cero para algún . En este caso, se representa por una fracción continua finita . Un algoritmo eficiente para convertir una fracción común en una fracción continua es el algoritmo de Euclides . La representación de fracción continua de un número racional es ambigua: si el algoritmo dado aquí produce una fracción continua , entonces la fracción continua corresponde al mismo número. $X$ $x_{n}$ $norte$ $X$ $x=[a_{0};a_{1},\ldots,a_{n}]$ ${\ estilo de visualización [\ puntos, a_ {n}]}$ $[\dots,a_{n}-1,1]$

Para el irracional , todas las cantidades serán distintas de cero y el proceso de expansión puede continuar indefinidamente. En este caso, se representa por una fracción continua infinita . Si la secuencia consiste en un conjunto repetido infinitamente de los mismos números (período), entonces la fracción continua se llama periódica. Un número está representado por una fracción continua periódica infinita si y solo si es una irracionalidad cuadrática , es decir, una raíz irracional de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. $X$ $x_{n}$ $X$ $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots]$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots]$

Fracciones apropiadas

La n-ésima (“n-ésima”) fracción adecuada para una fracción continua se llama fracción continua finita , cuyo valor es un número racional . Las fracciones apropiadas con números pares forman una secuencia creciente, cuyo límite es . De manera similar, los convergentes impares forman una secuencia descendente, cuyo límite también es igual a . Así, el valor de una fracción continua siempre está entre los valores de los convergentes vecinos. $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots]$ $[a_{0};a_{1},\ldots,a_{n}]$ $p_{n}/q_{n}$ $X$ $X$

Euler derivó fórmulas recursivas para calcular los numeradores y denominadores de convergentes:

p_{{-1}}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{{n-1}}+p_{{n-2}} ;

q_{{-1}}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{{n-1}}+q_{{n-2}}.

Así, las cantidades y son polinomios en , llamados continuantes : $p_n$ $q_{n}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\puntos,a_{n))$

p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\puntos,a_{n}),

q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}).

Las secuencias de numeradores y denominadores de convergentes son estrictamente crecientes. ${\ estilo de visualización \ {p_ {n} \}}$ ${\ estilo de visualización \ {q_ {n} \}}$

Los numeradores y denominadores de los convergentes vecinos están relacionados por la relación

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.

(una)

Las fracciones apropiadas, como se puede ver en esta relación, son siempre irreducibles . Reescribamos la relación en la forma

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}={\frac {(-1) ^{{n-1}}}{q_{{n-1}}q_{n}}}.

Se sigue [3] que

\left|x-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}\right|<{\frac {1}{q_{{n-1}}q_{ n}}}<{\frac {1}{q_{{n-1}}^{2}}}.

Aproximación de números reales por números racionales

Las fracciones continuas le permiten encontrar eficientemente buenas aproximaciones racionales de números reales. Es decir, si un número real se expande en una fracción continua, entonces sus convergentes satisfarán la desigualdad $X$

\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.

Consecuencias [4] :

Una fracción adecuada es la mejor aproximación del número original entre todas las fracciones cuyo denominador no exceda $p_{n}/q_{n}$ ${\ estilo de visualización q_ {n}.}$
La medida de irracionalidad de cualquier número irracional es al menos 2.

Ejemplos

Expandamos el número a una fracción continua y calculemos sus convergentes: ${\ estilo de visualización \ pi = 3 {,} 14159265 \ puntos}$

3,\ {\frac {22}{7)),\ {\frac {333}{106)),\ {\frac {355}{113)),\ {\frac {103993}{33102 }},\ \puntos

El segundo convergente es la conocida aproximación de Arquímedes. La cuarta fracción adecuada se obtuvo por primera vez en la antigua China . ${\ estilo de visualización 22/7}$ ${\ estilo de visualización 355/113}$

Propiedades de la proporción áurea

La siguiente es una descomposición de la sección áurea :

\Phi =[1;1,1,1,\puntos].

Un resultado interesante, que se deriva del hecho de que la expresión de fracción continua para no usa números mayores que 1, es que es uno de los números que se aproximan más "mal" . Más precisamente, el teorema de Hurwitz [5] establece que cualquier número real puede ser aproximado por una fracción de tal manera que $\Fi$ $\Fi$ $r$ $Minnesota$

\left|r-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{n^{2}{\sqrt {5}}}}.

Aunque prácticamente todos los números reales tienen infinitas aproximaciones que son mucho menores que este límite superior, las aproximaciones para (es decir, los números 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.) en el límite alcance este límite [6] , manteniendo la distancia casi exactamente desde , por lo que nunca producirá aproximaciones tan buenas como, por ejemplo, 355/113 para π. Se puede demostrar que cualquier número real de la forma tiene esta propiedad , donde y son números enteros, y ; y también que todos los demás números reales se pueden aproximar mucho mejor. $r$ $Minnesota$ $r$ $\Fi$ ${\ estilo de visualización 1/(n^{2}{\sqrt {5)))}$ $\Fi$ ${\ estilo de visualización (a + b \ Phi)/(c + d \ Phi)}$ $a B C$ $d$ $ad-bc=\pm 1$

Propiedades y ejemplos

Cualquier número racional se puede representar como una fracción continua finita de dos formas, por ejemplo: $9/4=[2;3,1]=[2;4].$
Teorema de Lagrange : Un número se representa como una fracción continua periódica infinita si y solo si es una solución irracional a una ecuación cuadrática con coeficientes enteros.

Por ejemplo:

{\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots],

{\sqrt {42}}=[6;2,12,2,12,2,12\dots],

proporción áurea

\Phi =[1;1,1,1,\puntos].

Teorema de Gauss-Kuzmin : para casi todos (excepto para un conjunto de medida cero) los números reales, la distribución de los elementos de sus correspondientes fracciones continuas obedece a la estadística de Gauss-Kuzmin ; en particular, hay una media geométrica de todos los elementos, y es igual a la constante de Khinchin .
El teorema de Marshall Hall . Si en la expansión de un númeroa una fracción continua, a partir del segundo elemento, no hay números grandes, entonces se dice que el númeropertenece a la clase. Cualquier número real se puede representar como la suma de dos números de la clasey como el producto de dos números de la clase [7] Además, se demostró que cualquier número real se puede representar como la suma de tres números de la clasey como la suma de cuatro números de la clase. El número de términos requeridos en este teorema no se puede reducir - para representar algunos números de esta manera, menos términos no son suficientes [8] [9] . $X$ $norte$ $X$ $F(n)$ $F(4)$ $F(4).$ $F(3)$ $F(2)$

Temas abiertos

Se han hecho intentos para encontrar patrones en expansiones de fracciones continuas de irracionalidades cúbicas [10] , así como otros números algebraicos de grado mayor que 2 y números trascendentales [11] . Para algunos números trascendentales, se puede encontrar un patrón simple. Por ejemplo, la base del logaritmo natural se puede representar como [12]

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots] ,

y la tangente de un ángulo de 1 radian tiene la forma [13]

\operatorname {tg} 1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots,1,2n+1,1,2n+3,\ldots]

El número de un patrón simple no es visible [14] : $\Pi$

\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\puntos]

Sin embargo, para la fracción continua generalizada (consulte la sección Variaciones y generalizaciones a continuación ), se puede rastrear un patrón claro.

No se sabe si las expansiones parciales incompletas de números como o [11] [15] están acotadas desde arriba . ${\raíz cuadrada[ {3}]{2}}$ $\Pi$

Aplicaciones de las fracciones continuas

Teoría del calendario

Al desarrollar un calendario solar , es necesario encontrar una aproximación racional para el número de días en un año , que es 365.2421988 ... Calculemos las fracciones adecuadas para la parte fraccionaria de este número:

\frac{1}{4};\ \frac{7}{29};\ \frac{8}{33};\ \frac{31}{128};\ \frac{132}{545} \cdots

La primera fracción significa que cada 4 años necesitas agregar un día extra; este principio formó la base del calendario juliano . En este caso, un error de 1 día se acumula durante 128 años. El segundo valor (7/29) nunca se utilizó porque difiere poco del siguiente, que es mucho más preciso. La tercera fracción (8/33), es decir, 8 años bisiestos en un período de 33 años, fue propuesta por Omar Khayyam en el siglo XI y sentó las bases del calendario persa , en el que el error por día se acumula a lo largo de 4500 años. (en el gregoriano - más de 3280 años). Una versión muy precisa con una cuarta fracción (31/128, el error por día se acumula solo durante 100.000 años [16] ) fue promovida por el astrónomo alemán Johann von Medler (1864), pero no despertó mucho interés.

Teoría de la música

En teoría musical, cuando se construye un sistema de temperamento uniforme , se requiere que el intervalo de octava se divida en partes iguales y, al mismo tiempo, el intervalo de dichas partes debe estar lo más cerca posible del intervalo de quinta . Estos requisitos conducen al problema de encontrar una aproximación racional para . La tercera fracción adecuada da la escala pentatónica de temperamento igual . El cuarto convergente conduce a la división clásica de la octava en 12 semitonos iguales [17] . ${\ estilo de visualización 2:1}$ $norte$ $metro$ $3:2$ $\log _{2}1{,}5\aproximadamente 0{,}585$ ${\ estilo de visualización 3/5}$ ${\ estilo de visualización 7/12}$

Resolución de comparaciones de primer grado

Considere la comparación : , donde se conocen, y podemos suponer que es coprimo con . Debe ser encontrado $ax\equiv b{\pmod m}$ $un, \ b$ $a$ $metro$ $X$

Expandámoslo a una fracción continua. Será definitiva, y la última fracción conveniente . Sustituya en la fórmula (1): ${\frac{m}{a))$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}$

mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.

De esto se sigue:

ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m)),

\ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m)).

Conclusión: La clase de residuos es la solución a la comparación original. $x\equiv (-1)^{n}p_{{n-1}}b{\pmod m}$

Otras aplicaciones

Prueba de la irracionalidad de los números. Por ejemplo, utilizando fracciones continuas, se demostró la irracionalidad del valor de la función zeta de Riemann ( constante de Aperi ). $\zeta (3)$
Solución en enteros de la ecuación de Pell [18] : y otras ecuaciones del análisis diofántico $\;x^{2}-ny^{2}=1\;$
Definición de un número trascendental conocido (ver el teorema de Liouville )
Algoritmos de factorización SQUFOF y CFRAC .
Caracterización de polinomios ortogonales
Caracterización de polinomios estables

Variaciones y generalizaciones

Varias fuentes dan una definición generalizada de una fracción continua, permitiendo numeradores en sus enlaces no solo 1, sino también otros números enteros (incluso los complejos están permitidos en algunas fuentes ) [1] :

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\ cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}.

Esta generalización aumenta la flexibilidad de la teoría, pero tiene dos inconvenientes: la expansión de un número real a una fracción continua se vuelve ambigua y, además, ya no se garantiza la existencia de un límite de convergentes -el límite puede ser infinito o incluso ausente.

Para fracciones continuas generalizadas, las fórmulas de Euler tienen la forma [19] :

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + b_n p_{n-2};

q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + b_n q_{n-2}.

Donde

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\dots b_{n}.

Un caso especial en el que todo se llama fracción continua de Hirzebruch [20] . ${\ estilo de visualización b_ {n} = -1}$

Se dijo anteriormente que la expansión de un número en una fracción continua clásica no contiene un patrón visible. Para una fracción continua generalizada, se aplica la fórmula de Braunker [21] : $\Pi$

{\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+ {\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}} }}}

Otra dirección de generalización consiste en construir y aplicar el aparato de fracciones continuas no para números, sino para polinomios - se utiliza el hecho de que la divisibilidad de polinomios en sus propiedades es cercana a la divisibilidad de enteros [22] . Cualquier función polinomial o fraccional-racional se puede expandir a una fracción continua [23] :

{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+ \ldots }}}}}}.

Ejemplo: obtener la descomposición de la función : ${\displaystyle f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2))))$

f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x))))))).

Puede establecer una correspondencia entre fracciones continuas y ángulos en celosías en el plano. En este sentido, existen diversas variantes de "fracciones continuas multidimensionales" [24] .

Antecedentes históricos

Los matemáticos antiguos eran capaces de representar proporciones de cantidades inconmensurables en forma de una cadena de proporciones adecuadas sucesivas, obteniendo esta cadena utilizando el algoritmo de Euclides . Aparentemente, esta es la forma en que Arquímedes obtuvo la aproximación : esta es la 12.ª fracción adecuada para o un tercio de la 4.ª fracción adecuada para . ${\sqrt {3}}\aprox. {\frac{1351}{780}}$ $\sqrt{3}$ ${\ sqrt {27}}$

En el siglo V, el matemático indio Aryabhata usó un "método de refinación" similar para resolver ecuaciones indeterminadas de primer y segundo grado. Con la ayuda de la misma técnica, probablemente se obtuvo la conocida aproximación para el número (355/113). En el siglo XVI, Rafael Bombelli extrajo raíces cuadradas usando fracciones continuas (ver su algoritmo ). $\Pi$

El comienzo de la teoría moderna de las fracciones continuas fue establecido en 1613 por Pietro Antonio Cataldi . Señaló su propiedad principal (la posición entre fracciones adecuadas) e introdujo una designación que recuerda a la moderna. Más tarde, su teoría fue ampliada por John Vallis , quien propuso el término "fracción continua" . El término equivalente " tiro continuo " apareció a finales del siglo XVIII.

Estas fracciones se usaron principalmente para la aproximación racional de números reales; por ejemplo, Christian Huygens las utilizó para diseñar los engranajes de su planetario . Huygens ya sabía que los convergentes son siempre irreducibles y que representan la mejor aproximación racional al número original.

En el siglo XVIII, la teoría de las fracciones continuas fue completada en términos generales por Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Fracción continua // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5.
↑ Arnold, 2000 , pág. 12
↑ Vinogradov, 1952 , pág. Dieciocho.
↑ Vinogradov, 1952 , pág. 22, párrafo 2.
↑ Hardy, GH; Wright, EM Theorem 193 // Una introducción a la teoría de los números . — Quinto. —Oxford, 1979.
↑ Davenport, 1965 , pág. 93-95.
↑ M. Hall, Sobre la suma y el producto de fracciones continuas, Annals of Math. 48 (1947) 966-993.
↑ B. Diviš, Sobre sumas de fracciones continuas, Acta Arith. 22 (1973) 157-173.
↑ TW Cusick y R.A. Lee, Sumas de conjuntos de fracciones continuas, Proc. amer Matemáticas. soc. 30 (1971) 241-246.
↑ Cálculos en álgebra y teoría de números, 1976 , H. M. Stark. Una explicación de algunas de las exóticas fracciones continuas encontradas por Brillhart, p. 155-156.
↑ 1 2 P. Shiu. Cálculo de fracciones continuas sin valores de entrada . — 1995.
↑ Secuencia OEIS A003417 : expansión de fracción continua de e .
↑ Secuencia OEIS A093178 : expansión de fracción continua . $\nombre del operador{tg}\,1$
↑ Secuencia OEIS A001203 : expansión de fracción continua . $\Pi$
↑ Secuencia OEIS A002945 : expansión de fracción continua . ${\raíz cuadrada[ {3}]{2}}$
↑ De hecho, debido a la desaceleración gradual de la rotación de la Tierra y, en consecuencia, la disminución gradual del número de días en un año, tal calendario habría acumulado un error real de un día después de 4000 años.
↑ Shilov G. E. Gamma simple. Dispositivo de escala musical . — Conferencias Populares de Matemáticas . - M. : Fizmatgiz , 1963. - S. 14-15. — 20 s.
↑ Bugaenko V. O. Ecuaciones de Pell _ _ _
↑ Fundamentos de las matemáticas computacionales, 1963 , p. 57.
↑ E. Yu. Smirnov. Frisos y fracciones continuas . MCNMO (17 de marzo de 2020). Consultado el 17 de abril de 2020. Archivado desde el original el 21 de abril de 2021. (indefinido)
↑ John Wallis , Arithmetica Infinitorum (Oxford, Inglaterra: Leon Lichfield, 1656), página 182 . Archivado el 24 de abril de 2021 en Wayback Machine . Brouncker expresó, como fracción continua, la razón del área de un círculo al área del cuadrado circunscrito (es decir, 4/ π ). La fracción continua aparece en la parte superior de la página 182 (aproximadamente) como: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 &c, donde el cuadrado indica la proporción que se busca. (Nota: en la página anterior, Wallis nombra a Brounker como: "Dom. Guliel. Vicecon, & Barone Brouncher " (Lord William Viscount y Baron Brounker).)
↑ Khovansky A. N. Aplicaciones de fracciones continuas y sus generalizaciones a cuestiones de análisis aproximado (capítulos 1 y 2). — M .: Gostekhizdat, 1956.
↑ Fundamentos de las matemáticas computacionales, 1963 , p. 70-73.
↑ Karpenkov, 2013 .

Literatura

Arnold V. I. Fracciones continuas . - M. : MTsNMO , 2000. - T. 14. - 40 p. - ( Biblioteca "Educación Matemática" ).
Beskin NM Fracciones continuas // Kvant . - 1970. - T. 1 . - S. 16-26.62 .
Beskin NM Fracciones continuas infinitas // Kvant . - 1970. - T. 8 . - S. 10-20 .
Bodnar D.I. Ramificación de fracciones continuas. - K. : Nauka, 1986. - 174 p.
Bukhshtab A. A. Teoría de números . - M. : Educación, 1966. - 384 p.
Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.
Cálculos en álgebra y teoría de números / Per. De inglés. E. G. Belagi, ed. B. B. Venkova y D. K. Faddeeva. - M .: Mir , 1976. - (Matemáticas. Novedades en ciencias extranjeras).
Gladkovsky S. N. Análisis de fracciones continuas condicionalmente periódicas, parte 1 . - Suave, 2009. - 138 p.
Demidovich B. P., Maron I. A. Fundamentos de Matemática Computacional. - Ed. 2do. - M. : Fizmatlit, 1963. - S. 53-73. — 660 págs.
Depman I. Ya. Historia de la aritmética. Una guía para profesores . - Segunda ed. - M. : Educación, 1965. - S. 253-254.
Davenport G. Aritmética superior. Una introducción a la teoría de números . — M .: Nauka, 1965.
Siziy SV Conferencias sobre teoría de números . - Ekaterimburgo: la Universidad Estatal de los Urales lleva su nombre. A. M. Gorki , 1999.
Skorobogatko V. Ya. La teoría de la ramificación de fracciones continuas y su aplicación en matemáticas computacionales. — M .: Nauka, 1983. — 312 p.
Khinchin A. Ya. Fracciones continuas . — M .: GIFML, 1960.
Khovansky AN Aplicación de fracciones continuas y sus generalizaciones a cuestiones de análisis aproximado. — M.: Gostekhizdat, 1956. — 204 p.
Brezinski C. Historia de las fracciones continuas y aproximaciones de Padé. Nueva York: Springer, 1980.
Karpenkov O. Geometría de fracciones continuas. - Springer, 2013. - ISBN 978-3-642-39367-9 .

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