Ecuación de Schwinger-Tomonaga

La ecuación de Schwinger-Tomonaga , en la teoría cuántica de campos , la ecuación básica del movimiento [1] , generalizando la ecuación de Schrödinger al caso relativista.

La función de onda en el caso relativista debe darse como un funcional de hipersuperficies espaciales . La ecuación de Schwinger-Tomonaga para la función de onda tiene la forma: [2] ${\ estilo de visualización \ Psi [\ sigma]}$

i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma]}{\delta \sigma (x)))={\mathcal {H))(x)\Psi [\sigma],

donde esta la densidad del hamiltoniano ${\mathcal {H}}(x)$

H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .

$x=(x^{0},\mathbf {x} )$ es una coordenada en el espacio de Minkowski . La ecuación de Schwinger-Tomonaga para la matriz de densidad , que también es un funcional de las hipersuperficies espaciales, tiene la forma: [3] ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {1,3}}$

i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma]}{\delta \sigma (x)))=[{\mathcal {H}}(x),\rho [\sigma]].

Las hipersuperficies espaciales están definidas por una variedad tridimensional en , que se puede extender en todas las direcciones espaciales. Estas variedades están determinadas por el hecho de que en cada punto la hipersuperficie tiene un vector unitario normal $\sigma$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {1,3}}$ ${\ estilo de visualización x \ en \ sigma}$

n_{\mu }(x)n^{\mu }(x)=1,

temporal

n^{0}(x)\geqslant 1.

La ecuación de Schwinger-Tomonaga es una ecuación diferencial funcional . Puede verse como una ecuación diferencial en una familia continua de variables de tiempo. [3] Para ello, es necesario elegir la parametrización de la hipersuperficie por las coordenadas del espacio tridimensional , entonces los puntos se pueden representar como . Así, cada punto tiene su propia variable de tiempo . $\sigma$ $\mathbf{x}$ $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización x \ en \ sigma}$ $x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )$ $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$ $x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )$

Derivada funcional en la ecuación de Schwinger-Tomonaga

Consideremos un punto y una hipersuperficie variada , que difiere de sólo en alguna vecindad del punto . Denotemos el volumen de la región de cuatro dimensiones encerrada entre y . Entonces , la derivada funcional de un funcional arbitrario , que es un mapeo del conjunto de hipersuperficies a números reales , se define [4] de la siguiente manera [5] ${\ estilo de visualización x \ en \ sigma}$ ${\ estilo de visualización \ sigma + \ delta \ sigma}$ $\sigma$ $Buey$ $X$ ${\ estilo de visualización \ Omega (x)}$ $\sigma$ ${\ estilo de visualización \ sigma + \ delta \ sigma}$ ${\frac {\delta }{\delta \sigma (x)))$ ${\ estilo de visualización F [\ sigma]}$

{\frac {\delta F[\sigma]}{\delta \sigma (x)))={\underset {\Omega (x)\rightarrow 0}{\lim )){\frac {F[ \sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x))).

Solución de la ecuación de Schwinger-Tomonaga

La solución de la ecuación de Schwinger-Tomonaga para la matriz de densidad se puede representar como [6]

{\ estilo de visualización \ rho (\ sigma) = U (\ sigma, \ sigma _ {0}) \ rho (\ sigma _ {0}) U ^ {\ daga} (\ sigma, \ sigma _ {0}), }

donde está el operador de evolución unitaria de la forma ${\ estilo de visualización U (\ sigma, \ sigma _ {0})}$

U(\sigma,\sigma_{0})=\mathrm {Texp} \left[-i\hbar \int_{\sigma_{0))^{\sigma }{\mathcal {H} }(x)d^{4}x\derecho],

donde es el exponente ordenado en el tiempo. es la matriz de densidad inicial definida en la hipersuperficie inicial . De manera similar, la solución a la ecuación de Schwinger-Tomonaga para la función de onda se puede representar como $\mathrm {Texp}$ ${\ estilo de visualización \ rho (\ sigma _ {0})}$ $\sigma _{0}$

{\ Displaystyle \ Psi (\ sigma) = U (\ sigma, \ sigma _ {0}) \ Psi (\ sigma _ {0}),}

donde es la función de onda inicial. ${\ estilo de visualización \ Psi (\ sigma _ {0})}$

Condición necesaria para la integrabilidad

Así como las ecuaciones diferenciales parciales requieren la conmutabilidad de estas derivadas para la integrabilidad, la ecuación de Schwinger-Tomonaga para la matriz de densidad tiene una condición de integrabilidad necesaria [6] , que requiere que las derivadas variacionales se conmuten en puntos arbitrarios de cada hipersuperficie similar a un espacio fijo : $\sigma$

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Esta condición es consecuencia del requisito de microcausalidad para la densidad del hamiltoniano . Establece que los hamiltonianos para varios puntos de intervalos espaciales ${\mathcal {H}}(x)$

[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (xy)^{2}<0.

En efecto, teniendo en cuenta la identidad de Jacobi , tenemos:

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=[[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)],\rho [\sigma]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

La condición de integrabilidad asegura la unicidad de la solución.

El paquete espacio-tiempo y la ecuación de Schrödinger

Un paquete espacial se define [7] por una familia suave de un parámetro ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {1,3}}$

{\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau)\}

que consiste en hipersuperficies espaciales con la propiedad de que cada punto pertenece a una y solo una hipersuperficie : ${\ estilo de visualización \ sigma (\ tau)}$ $x\en \mathbb {R} ^{1,3}$ ${\ estilo de visualización \ sigma (\ tau)}$

\forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\exists !\tau \in \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau ).

Denotamos la hipersuperficie correspondiente al punto como . Un paquete fijo genera una familia de vectores de estado $X$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {x}}$ ${\ matemáticas {F}}$

|\Psi (\tau)\rangle =\Psi (\sigma (\tau)).

Entonces la ecuación de Schwinger-Tomonaga se puede reformular en la forma integral

|\Psi (\tau)\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int_{\sigma_{0))^{\sigma (\tau)}{\mathcal {H }}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.

La integración tetradimensional se extiende al área rodeada por la hipersuperficie inicial y la hipersuperficie de la familia, que se encuentra completamente en el futuro . ${\ estilo de visualización \ sigma _ {0} = \ sigma (0)}$ ${\ estilo de visualización \ sigma (\ tau)}$ $\sigma _{0}$

Deje que las hipersuperficies se definan mediante la expresión implícita ${\ estilo de visualización \ sigma (\ tau)}$

{\tilde {f}}(x,\tau)=0,

donde es una función escalar suave . Entonces el vector unitario normal ${\ estilo de visualización {\ tilde {f)} (x, \ tau)}$

n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt ({\frac {\parcial {\tilde {f))(x,t)}{\parcial x^{\mu } }}{\frac {\parcial {\tilde {f}}(x,t)}{\parcial x_{\mu }})))}}{\frac {\parcial {\tilde {f}}(x , t)}{\x parcial^{\mu }}}.

Por conveniencia, normalizamos la función que define el hiperplano para eliminar el factor de normalización en la fórmula para la normal ${\ estilo de visualización f (x, \ tau) = 0}$

n_{\mu }(x)={\frac {\parcial f(x,t)}{\parcial x^{\mu ))}.

Derivación de la ecuación integral para vectores de estado

{\frac {d}{d\tau}}|\Psi (\tau)\rangle =-{\frac {i}{\hbar}}\int _{\sigma (\tau)}\left |{\frac {\f parcial}{\parcial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau)\rangle d\sigma (x),

donde la integración se realiza sobre la hipersuperficie . Esta ecuación es una generalización covariante de la ecuación de Schrödinger. Teniendo en cuenta $\sigma (\tau)\in {\mathcal {F}}$

\int _{\sigma (\tau)}\left|{\frac {\parcial f}{\parcial \tau ))\right|{\mathcal {H))(x)d\sigma (x )=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\parcial x_{0}}{\parcial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x )d\sigma (x)=H(\tau)

la ecuación de movimiento para los vectores de estado toma la forma

i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau)\rangle =H(\tau)|\Psi (\tau)\rangle.

Antecedentes históricos

Inmediatamente después del advenimiento de la mecánica cuántica, comenzaron los intentos de construir su generalización relativista. Sin embargo, en este camino se presentaba una dificultad fundamental, [1] debido a que en el formalismo de la mecánica cuántica [8] el tiempo juega un papel esencialmente diferenciado, diferente al de las coordenadas. Por otro lado, en la teoría de la relatividad, las coordenadas de tiempo y espacio deben actuar simétricamente como componentes de un cuadrivector.

Para encontrar una generalización relativista de la ecuación para la evolución de los estados, era necesario comprender que el tiempo no relativista juega dos roles a la vez, que se dividen en la generalización relativista. Por un lado, este es el tiempo individual del evento, es este tiempo el que debe ser simétrico a las coordenadas, por otro lado, sirve como un parámetro de evolución que ordena eventos en puntos espacialmente separados. La generalización relativista de esta segunda función del tiempo puede ser cualquier conjunto de puntos mutuamente similares al espacio, de modo que cualquier línea temporal del mundo incluya uno y sólo un punto de este conjunto. Tal colección es una hipersuperficie similar al espacio . $\sigma$

La ecuación en la forma descrita fue presentada de forma independiente por S. Tomonaga en 1946 y J. Schwinger en 1948 y sirvió como base para la construcción de la teoría de la perturbación invariante de Lorentz .

Notas

↑ 1 2 Prokhorov, 1992 , TOMONAG - ECUACIÓN DE SCHWINGER.
↑ Bogolyubov y Shirkov, 1984 , p. 397.
↑ 1 2 Breuer y Petruccione, 2010 , p. 620.
↑ Tal definición requiere que se defina no solo en hipersuperficies similares al espacio, sino también en sus variaciones suficientemente pequeñas.
↑ Bogolyubov y Shirkov, 1984 , p. 400.
↑ 1 2 Breuer y Petruccione, 2010 , p. 622.
↑ Breuer y Petruccione, 2010 , p. 623.
↑ Y también en su formalismo original de la mecánica hamiltoniana clásica .

Literatura

Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introducción a la teoría de campos cuantizados. - 4ª ed., rev. - M. : Nauka, Edición principal de literatura física y matemática, 1984. - 600 p. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Breuer H.-P. , Petruccione F. . Teoría de los sistemas cuánticos abiertos / Per. De inglés. edición Yu.I.Bogdanova . - M. - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámica Regular y Caótica", Instituto de Investigación Informática, 2010. - 824 p. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Prokhorov A. M. (ed.). Enciclopedia Física . - M .: Enciclopedia soviética , 1992. - T. 3. - 672 p. — ISBN 5-85270-034-7 .