Ecuación de tres momentos

La ecuación de tres momentos es una ecuación para calcular momentos en el problema de flexión de una viga continua de varios vanos [1] .

Se sabe que una viga en presencia de apoyos adicionales se vuelve estáticamente indeterminada . Uno de los métodos para calcular este tipo de vigas es el método de la fuerza . Usando este método, se deriva la ecuación de tres momentos [2] :

M_{i-1}l_{i}+2M_{i}(l_{i}+l_{i+1})+M_{i+1}l_{i+1}=-6\left( {\frac {\Omega _{i}a_{i}}{l_{i}}}+{\frac {\Omega _{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}} }\Correcto).

Aquí está el área del diagrama de momentos de la i -ésima viga estáticamente determinable, es la distancia desde el centro de gravedad del i -ésimo diagrama hasta el extremo izquierdo de la viga, es la distancia desde el centro de gravedad del i -ésimo diagrama al extremo derecho de la viga, es la longitud de la i - ésima viga. ${\ Displaystyle \ Omega _ {i}}$ $ai}$ $bi}$ ${\displaystyle l_{i}=a_{i}+b_{i))$

La derivación de la ecuación de tres momentos proporciona que después de la introducción de rótulas sobre los apoyos, se obtiene un sistema de vigas estáticamente determinado , cada una de las cuales es una viga simple con apoyos en los extremos. Las fuerzas desconocidas en el método son momentos aplicados en los extremos de vigas independientes. $norte$

Historia

Por primera vez, la ecuación para el cálculo de vigas continuas fue aplicada por el constructor de puentes e ingeniero ferroviario Bertot en 1855 [3] . El método en sí se usó antes (1849) en la reconstrucción del puente sobre el Sena en Asnières (un suburbio de París , ahora conocido como Asnières-sur-Seine , fr. Asnières-sur-Seine ), pero fue publicado por Clapeyron en las actas de la Academia de Ciencias solo en 1857. Entonces, desde que Clapeyron expresó por primera vez la idea de un sistema básico con momentos desconocidos sobre soportes, la ecuación de tres momentos está asociada con su nombre [4] . La teoría de las vigas continuas se desarrolló aún más en los trabajos de Otto Mohr , quien generalizó la teoría al caso en que los apoyos se ubican a diferentes alturas (1860).

Procedimiento de solicitud

El procedimiento para resolver el problema usando la ecuación de tres momentos es el siguiente.

1 . La viga se corta en partes separadas (vigas simples) mediante bisagras internas adicionales en los puntos de unión de los soportes.

Designaciones de las reacciones de los enlaces formados: - momentos . ${\displaystyle M_{0},M_{1},...,M_{n))$

2 . Los vanos (secciones de la viga entre los apoyos) están numerados. El número de vuelos es . La consola izquierda se considera un intervalo cero, la derecha tiene el número . Longitudes de tramo: , . $norte$ $n+1$ $l_{yo}$ ${\ estilo de visualización i = 0, ..., n + 1}$

3 . A partir de la condición de equilibrio de las partes en voladizo, se determinan los momentos y . Los momentos restantes son desconocidos para el sistema de ecuaciones de tres momentos. $M_{0}$ $Minnesota}$ $n-1$

4 . Los diagramas de momentos y fuerzas cortantes en vanos y consolas (si las hay) de las vigas se construyen a partir de la acción de la carga externa. Cada tramo es una viga separada estáticamente definida. $M_{p}$ $Q_p$

5 . Se calculan las áreas de diagramas de momentos , en vanos y las distancias desde los centros de gravedad de estas áreas a los apoyos izquierdo ( ) y derecho ( ) del vano correspondiente. ${\ Displaystyle \ Omega _ {i}}$ ${\ estilo de visualización i = 1,..., n}$ $ai}$ $bi}$

6 _ A los diagramas de los momentos de la carga externa se le suma la solución del sistema de ecuaciones de tres momentos. El diagrama resultante es el diagrama de momentos en una viga continua.

Ejemplo

Construya una gráfica de momentos en una viga continua de 19 metros de largo con cuatro apoyos (Fig. 1). Sobre la viga actúan una carga distribuida kN/m, kN/m y una fuerza concentrada kN. ${\ estilo de visualización q_ {1} = 10}$ ${\ estilo de visualización q_ {2} = 12}$ ${\ estilo de visualización P = 9}$

Arroz. una

Longitud de los voladizos: m Longitudes de los vanos: m Obtenemos el sistema principal del método de las fuerzas introduciendo rótulas sobre los apoyos (Fig. 2). Los momentos y son cantidades conocidas y se determinan a partir de la condición de equilibrio de las consolas. Aquí no hay consola derecha, . Para la consola izquierda, obtenemos . ${\ estilo de visualización l_ {0} = 4}$ ${\ estilo de visualización l_{1}=l_{2}=l_{3}=5}$ $M_{0}$ $M_{3}$ ${\ estilo de visualización M_ {3} = 0}$ $M_{0}=q_{1}l_{0}^{2}/2$

Arroz. 2

Construimos diagramas de momentos de una carga externa en vigas independientes del sistema principal (estáticamente determinado) (Fig. 3). Construimos diagramas sobre fibra comprimida (como es costumbre en ingeniería mecánica; en construcción y arquitectura, diagramaslos momentos generalmente se construyen sobre una fibra estirada).

Arroz. 3

Escribimos las ecuaciones de tres momentos:

$l_{1}M_{0}+2M_{1}(l_{1}+l_{2})+M_{2}l_{2}=-6(\Omega_{1}a_{1} /l_{1}+\Omega_{2}b_{2}/l_{2}),$

$l_{2}M_{1}+2M_{2}(l_{2}+l_{3})+M_{3}l_{3}=-6(\Omega_{2}a_{2} /l_{2}+\Omega_{3}b_{3}/l_{3}).$

Aquí Resolvemos el sistema de ecuaciones kNm, kNm. Construimos un diagrama a partir de estos momentos (Fig. 4). $\Omega _{1}=10.8\cdot 5/2=27,$ $a_{1}=(2+5)/3=2.333,$ ${\displaystyle\Omega_{2}=\Omega_{3}=2fl_{2}/3=125,}$ $a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=2.5.$ ${\ estilo de visualización M_ {1} = 7,301}$ $M_{2}=-39,325$

Arroz. cuatro

Agregamos (por puntos) diagramas de la carga (Fig. 3) y de los momentos (Fig. 4). Obtenemos el diagrama de los momentos en la viga (Fig. 5).

Arroz. 5

Una ventaja obvia del método es la simplicidad de la matriz del sistema de ecuaciones lineales del problema. Esta matriz es tridiagonal , lo que permite aplicar varios esquemas de solución numérica simplificada.

Notas

↑ Kirsanov M. N. . Arce y arce. Soluciones de problemas de mecánica. - San Petersburgo. : Lan, 2012. - 512 p. — ISBN 978-5-8114-1271-6 . - S. 179-181.
↑ Feodosiev V.I. Resistencia de materiales. - M. : Editorial estatal de literatura física y matemática, 1960. - 536 p. - art. 217.
↑ Bernstein SA Ensayos sobre la historia de la mecánica estructural. - M. : Editorial estatal de literatura sobre construcción y arquitectura, 1957. - 236 p. - S. 209.
↑ Timoshenko S. P. . Historia de la ciencia de la resistencia de los materiales. 2ª ed. - M. : URSS, 2006. - 536 p. — ISBN 5-484-00449-7 . - art. 176.

Literatura

Kiselev V.A. Mecánica estructural. Curso general. - M. : Stroyizdat, 1986. - 520 p.
Gorshkov A. G., Troshin V. N., Shalashilin V. I. . Resistencia de materiales. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 544 p. — ISBN 5-9221-0181-1 .