Ecuaciones de Lagrange (mecánica de fluidos)

Ecuaciones de Lagrange (en hidromecánica ): ecuaciones diferenciales de movimiento de partículas de un fluido ideal incompresible en variables de Lagrange , que tienen la forma:

\left(X-{\frac {\parcial ^{2}x}{\parcial t^{2))}\right){\frac {\parcial x}{\parcial a_{i))} +\left(Y-{\frac {\parcial ^{2}y}{\parcial t^{2))}\right){\frac {\parcial y}{\parcial a_{i))}+\ izquierda (Z-{\frac {\parcial ^{2}z}{\parcial t^{2))}\right){\frac {\parcial z}{\parcial a_{i))}={\frac {1}{\varrho )){\frac {\parcial p}{\parcial a_{i))},\qquad (i=1,2,3),\qquad (1)

donde es el tiempo, , , son las coordenadas de la partícula líquida, , , son los parámetros por los cuales las partículas del medio se distinguen entre sí (estos parámetros pueden ser los valores de las coordenadas , , en algún punto de tiempo ), , , son las proyecciones de las fuerzas del cuerpo, son la presión, - la densidad. Recibido por J. L. Lagrange hacia 1780. $t$ $X$ $y$ $z$ $un_{1}$ $un_{2}$ $un_{3}$ $x_{0}$ $y_0$ $z_{0}$ $t_0$ $X$ $Y$ $Z$ $pags$ $\varrho$

La solución del problema general de la hidromecánica en variables de Lagrange se reduce a conocer , , , así como las condiciones iniciales y de contorno, para determinar , , , , en función del tiempo y parámetros , , . Para resolver este problema, es necesario agregar a las ecuaciones (1) la ecuación de continuidad , que tiene la forma en variables de Lagrange y la ecuación de estado para el movimiento barotrópico o para un fluido incompresible . Si se encuentran las dependencias , , de , , , entonces las trayectorias, velocidades y aceleraciones de las partículas se determinan mediante los métodos usuales de cinemática puntual . $X$ $Y$ $Z$ $X$ $y$ $z$ $pags$ $\varrho$ $un_{1}$ $un_{2}$ $un_{3}$ ${\ estilo de visualización \ varrho = f (p)}$ $\varrho =\mathrm {const}$ $X$ $y$ $z$ $un_{1}$ $un_{2}$ $un_{3}$ $t$

\varrho (a_{1},a_{2},a_{3},t){\begin{vmatrix}{\frac {\parcial x}{\parcial a_{1))}&{\frac {\parcial y}{\parcial a_{1))}&{\frac {\parcial z}{\parcial a_{1))}\\{\frac {\parcial x}{\parcial a_{2)) }&{\frac {\parcial y}{\parcial a_{2))}&{\frac {\parcial z}{\parcial a_{2))}\\{\frac {\parcial x}{\parcial a_{3}}}&{\frac {\parcial y}{\parcial a_{3}}}&{\frac {\parcial z}{\parcial a_{3}}}\end{vmatrix}}=\ varrho _{0}(a_{1},a_{2},a_{3},t_{0}){\begin{vmatrix}{\frac {\parcial x_{0}}{\parcial a_{1} }}&{\frac {\parcial y_{0}}{\parcial a_{1}}}&{\frac {\parcial z_{0}}{\parcial a_{1}}}\\{\frac { \parcial x_{0}}{\parcial a_{2}}}&{\frac {\parcial y_{0}}{\parcial a_{2}}}&{\frac {\parcial z_{0}}{ \parcial a_{2))}\\{\frac {\parcial x_{0}}{\parcial a_{3}}}&{\frac {\parcial y_{0}}{\parcial a_{3}} }&{\frac {\parcial z_{0}}{\parcial a_{3}}}\end{vmatriz}}\qquad \qquad (2)

Por lo general, cuando se resuelven problemas de hidromecánica , se utilizan las ecuaciones de Euler . Las ecuaciones de Lagrange se utilizan principalmente en el estudio de movimientos no estacionarios, en particular, movimientos oscilatorios de un fluido, en algunas cuestiones de la teoría de la turbulencia .

Literatura

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