Fenómeno runge

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Fenómeno (fenómeno) Runge  : en análisis numérico , el efecto de oscilaciones no deseadas que ocurre durante la interpolación por polinomios de alto grado . Fue descubierto por Carl Runge mientras estudiaba los errores de interpolación de polinomios para aproximar ciertas funciones [1] .

Consideremos una función .Si la interpolamos por nodos equidistantes entre −5 y 5. por un polinomio de grado menor o igual a , entonces el interpolante resultante oscilará más cerca de los extremos del intervalo. A medida que aumenta el grado del polinomio, el error de interpolación tiende a infinito:

Tal efecto del crecimiento de la desviación con el crecimiento del grado del polinomio depende tanto de la secuencia de nodos elegida como de la función interpolada. Es decir, para cualquier secuencia de nodos, se puede elegir una función tan continua que el error de su interpolación sobre estos nodos específicos crezca indefinidamente. Por otro lado, según el teorema de aproximación de Weierstrass , para cualquier función continua en un intervalo, se puede elegir una secuencia de polinomios que converja uniformemente a esta función en un intervalo. En teoría, esto permite recoger (para esta función en particular) una secuencia de nodos sin el fenómeno de Runge.

Los nodos de Chebyshev pueden considerarse un compromiso , el error de interpolación sobre ellos disminuye uniformemente para cualquier función absolutamente continua .

Notas

1. ↑ Runge, Carl . Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten  (alemán)  // Zeitschrift für Mathematik und Physik. - 1901. - Bd. 46 . - S. 224-243 .