Bandera (matemáticas)

Una bandera es una cadena de subespacios anidados de un espacio vectorial (o un espacio de otro tipo, para el cual se define el concepto de dimensión ), que tiene la forma $L$

L_{0}\subconjunto L_{1}\subconjunto L_{2}\subconjunto \puntos \subconjunto L_{k}=L,

dónde

0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.

El concepto de una bandera completa (o máxima ), en la que se encuentra con mayor frecuencia , y por lo tanto, un número Por lo general, en la definición de una bandera completa, una condición adicional para la direccionalidad de cada par de subespacios vecinos en la cadena se añade (ver la definición más abajo). ${\ estilo de visualización \ dim L_ {i} = i}$ $k=\dim L.$

El concepto de bandera se usa principalmente en álgebra y geometría (a veces también llamado filtrado ).

Bandera completa

Una bandera completa en un espacio vectorial de dimensión finita es una secuencia de subespacios $L$ $norte$

L_{0}\subconjunto L_{1}\subconjunto L_{2}\subconjunto \puntos \subconjunto L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

donde el subespacio consiste solo en el vector cero, el subespacio coincide con todo , y cada par de subespacios vecinos está dirigido , es decir de los dos semiespacios en que se divide el subespacio , se elige uno (es decir, se ordena el par de estos semiespacios ). $L_0$ $L_{n}$ $L$ ${\ estilo de visualización (L_{n}=L)}$ ${\ estilo de visualización (L_{i},L_{i-1})}$ $L_{i-1}$ $L_{yo}$

Cada base de un espacio vectorial define alguna bandera completa en él. Es decir, establecemos (aquí los corchetes triangulares significan la envolvente lineal de los vectores entre ellos), y para establecer la direccionalidad del par, elegimos el semiespacio que contiene el vector . $e_{1},\ldots,e_{n}$ $L$ $L_{i}=\langle e_{1},\ldots,e_{i}\rangle$ ${\ estilo de visualización (L_{i},L_{i-1})}$ $e_{yo}$

La correspondencia entre bases y banderas llenas así construidas no es biunívoca: diferentes bases del espacio pueden definir una misma bandera en él (por ejemplo, en la figura de la derecha, las bases y en el plano definen el misma bandera completa). Sin embargo, si el espacio vectorial es euclidiano , entonces, operando no con bases ortonormales sino arbitrarias de este espacio, obtenemos una correspondencia uno a uno entre las bases ortonormales y las banderas completas. ${\ Displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1},e'_{2))$ $L$

Por lo tanto, para cualesquiera dos banderas completas del espacio euclidiano , existe una única transformación ortogonal que asigna la primera bandera a la segunda. $L$ $A:L a L$

Banderas en espacios afines y geometría de Lobachevsky

Las banderas completas se definen de manera similar en el espacio afín y el espacio de dimensión de Lobachevskii : $norte$

L_{0}\subconjunto L_{1}\subconjunto L_{2}\subconjunto \puntos \subconjunto L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

donde el subespacio consta de un solo punto (espacio afín o espacio de Lobachevsky), llamado centro de la bandera , el subespacio coincide con todo , y cada par está dirigido . $L_0$ $L_{n}$ $L$ ${\ estilo de visualización (L_{n}=L)}$ ${\ estilo de visualización (L_{i},L_{i-1})}$

Para cualesquiera dos banderas completas de un espacio afín euclidiano o espacio de Lobachevsky, hay un movimiento de este espacio que lleva la primera bandera a la segunda, y tal movimiento es único. Sophus Lie llamó a esta propiedad la libre movilidad del espacio . El teorema de Helmholtz-Lie establece que solo tres tipos de espacios (tres "grandes geometrías") tienen esta propiedad: Euclid , Lobachevsky y Riemann . [una]

Nido

En un espacio V de dimensión infinita, la idea de bandera se generaliza a un nido. Es decir, un conjunto de subespacios, bien ordenados por la inclusión de subespacios cerrados, se denomina nido .

Literatura

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.

Notas

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. XII, § 1. - M.: Fizmatlit, 2009.