Formalismo jones

El formalismo de Jones es un aparato matemático para analizar la polarización de una onda de luz, en el que la polarización está dada por los llamados vectores de Jones, y los elementos ópticos lineales están dados por las matrices de Jones [1] . El formalismo fue propuesto en 1941 por Robert Clark Jones. El formalismo de Jones es aplicable para luz completamente polarizada, para luz no polarizada o parcialmente polarizada se debe usar el formalismo de Muller .

Vectores de Jones

El vector de Jones describe la polarización de la luz en el vacío u otro medio isotrópico homogéneo en ausencia de absorción, donde la luz puede describirse mediante una onda electromagnética transversal. Sea una onda plana que se propague en dirección positiva a lo largo del eje z y tenga una frecuencia cíclica ω y un vector de onda k = (0,0, k ), donde el número de onda es k = ω / c . Entonces los campos eléctrico y magnético ( E y H ) son ortogonales a k en cada punto; es decir, se encuentran en un plano transversal a la dirección del movimiento. Además, H se determina con E girada 90 grados y multiplicada por un determinado factor según el sistema de unidades y la impedancia de onda del medio. Por lo tanto, al estudiar la polarización, basta con centrarse en E . La amplitud compleja E se escribe

{\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i( kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin {pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz -\omega t)}

El valor físico de E está determinado por la parte real de este vector, y el factor complejo describe la fase de la onda.

Entonces el vector de Jones se define como:

{\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.

Entonces, el vector de Jones almacena información sobre la amplitud y la fase de los componentes x e y del campo.

La suma de los cuadrados de los valores absolutos de las dos componentes del vector de Jones es proporcional a la intensidad de la luz. Por lo general, se normaliza a uno en el punto donde comienza el cálculo. También se supone comúnmente que el primer componente del vector de Jones es un número real . En este caso, se descarta la información sobre la fase conjunta que, sin embargo, es necesaria para calcular la interferencia con otros haces.

Los vectores y matrices de Jones se denotan de modo que la fase de la onda viene dada por . Con esta definición, un aumento (o ) corresponde a un retraso de fase y una disminución a un avance. Por ejemplo, el componente del vector de Jones ( ) indica un retraso (o 90 grados) detrás de 1. Se aplica otra convención ( ), por lo que el lector debe tener cuidado. ${\ estilo de visualización \ phi = kz- \ omega t}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {x}}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {y}}$ $i$ $=e^{i\pi /2}$ ${\ estilo de visualización \ pi /2}$ ${\ estilo de visualización \ phi = \ omega t-kz}$

La siguiente tabla contiene 6 ejemplos populares del vector de Jones:

polarización de la luz	vector jones	Designación típica de ket
Polarizado linealmente en x nombre común - horizontal	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	${\ estilo de visualización \| H \ ángulo}$
Polarizado linealmente en y el nombre habitual es vertical	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix))$	${\ estilo de visualización \| V \ ángulo}$
Polarizado linealmente en un ángulo de 45 ° con el eje x, el nombre habitual es diagonal L + 45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$\|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle +\|V\rangle )$
Polarizado linealmente en un ángulo de −45 ° con respecto al eje x, el nombre habitual es anti-diagonal L-45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$\|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -\|V\rangle )$
Nombre común de polarización circular en sentido contrario a las agujas del reloj : RCP o RHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$\|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -i\|V\rangle )$
Polarización circular en el sentido de las agujas del reloj comúnmente conocida como LCP o LHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$\|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +i\|V\rangle )$

En general, cualquier vector se puede escribir en notación ket como . Utilizando la esfera de Poincaré (también conocida como la esfera de Bloch ), los vectores ket base ( y ) deben indicar los vectores ket opuestos de los pares enumerados. Por ejemplo, puede escribir = y = . La elección aquí es arbitraria. Parejas opuestas: $|\psi\ángulo$ $|0\rango$ $|1\rango$ $|0\rango$ ${\ estilo de visualización | H \ ángulo}$ $|1\rango$ ${\ estilo de visualización | V \ ángulo}$

${\ estilo de visualización | H \ ángulo}$ que ${\ estilo de visualización | V \ ángulo}$
${\ estilo de visualización | D \ ángulo}$ que $|A\rangle$
${\ estilo de visualización | R \ ángulo}$ que ${\ estilo de visualización | L \ ángulo}$

Cualquier polarización que no coincida con o y no pertenezca al círculo que la atraviesa se llama elíptica. ${\ estilo de visualización | R \ ángulo}$ ${\ estilo de visualización | L \ ángulo}$ $|H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle$

Matrices de Jones

Las matrices de Jones se denominan operadores que actúan sobre los vectores de Jones. Se determinan para varios elementos ópticos: lentes, divisores de haz, espejos, etc. Cada matriz es una proyección sobre el espacio complejo unidimensional de los vectores de Jones. La siguiente tabla muestra ejemplos de matrices de Jones para polarizadores:

elemento óptico	Matriz de jones
Polarizador [[]] lineal con eje de transmisión horizontal [1]	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Polarizador lineal con eje de transmisión vertical [1]	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Polarizador lineal con eje de transmisión en un ángulo de ±45° con respecto a la horizontal [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Polarizador circular diestro [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Polarizador circular para zurdos [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Manipulación de fase

Los convertidores de fase introducen un cambio en la diferencia de fase entre las polarizaciones vertical y horizontal, controlando así la polarización del haz. Suelen estar formados por cristales uniaxiales birrefringentes como calcita , MgF 2 o cuarzo . Los cristales uniaxiales tienen uno de los ejes del cristal diferente de los otros dos (es decir, n i ≠ n j = n k ). Este eje se llama inusual u óptico. El eje óptico puede ser rápido o lento, según el cristal. La luz viaja a una alta velocidad de fase a lo largo del eje con el índice de refracción más bajo , y este eje se llama eje rápido. De manera similar, el eje con el índice de refracción más alto se denomina eje lento. Los cristales uniaxiales "negativos" (por ejemplo, calcita CaCO 3 , zafiro Al 2 O 3 ) tienen ne < n o , por lo que para estos cristales el eje inusual (óptico) es rápido, mientras que los cristales uniaxiales "positivos" (por ejemplo, cuarzo SiO 2 , fluoruro de magnesio MgF 2 , rutilo TiO 2 ) tienen ne > no , y su eje inusual es lento.

Un convertidor de fase con un eje rápido que coincide con los ejes x o y tiene cero términos fuera de la diagonal y, por lo tanto, la matriz puede mostrarlo

{\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}

donde y son las fases del campo eléctrico en las direcciones x e y , respectivamente. En esta notación, especifica la fase relativa entre dos ondas como . Entonces, un valor positivo (es decir, > ) significa que no tendrá el mismo valor que tendrá durante algún tiempo, es decir, adelante . Del mismo modo, si , entonces precede a . Por ejemplo, si el eje rápido de una placa de cuarto de onda es horizontal, entonces la velocidad de fase de la polarización horizontal estará por delante de la velocidad de fase de la polarización vertical, es decir, por delante . Si , que para una placa de cuarto de onda da . ${\ estilo de visualización \ phi _ {x}}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {y}}$ ${\ estilo de visualización \ phi = kz- \ omega t}$ ${\ estilo de visualización \ epsilon = \ phi _ {y} - \ phi _ {x}}$ $\epsilon$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {y}}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {x}}$ ${\ Displaystyle E_ {y}}$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ ${\ Displaystyle E_ {y}}$ ${\ estilo de visualización \ épsilon <0}$ ${\ Displaystyle E_ {y}}$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ ${\ Displaystyle E_ {y}}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {x} < \ phi _ {y}}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {y} = \ phi _ {x} + \ pi / 2}$

Una notación alternativa para la fase es: , define la fase relativa como . Entonces significa que durante algún tiempo no habrá el mismo valor , entonces por delante . ${\ estilo de visualización \ phi = \ omega t-kz}$ ${\ estilo de visualización \ epsilon = \ phi _ {x} - \ phi _ {y}}$ ${\ estilo de visualización \ épsilon > 0}$ ${\ Displaystyle E_ {y}}$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ ${\ Displaystyle E_ {y}}$

Elemento	Matriz de jones
Placa de cuarto de onda con eje rápido vertical [2] [3]	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
Placa de cuarto de onda con eje rápido horizontal	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
Placa de cuarto de onda con un eje rápido en ángulo con el eje horizontal $\ theta$	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \ theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Placa de media onda con un eje rápido en ángulo con el eje horizontal [4] $\ theta$	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix))$
Material arbitrario con doble refracción (como convertidor de fase) [5]	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{ i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{ -i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2 }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fowles, G. Introducción a la óptica moderna (indefinido) . — 2do. - Dover, 1989. - S. 35 .
↑ 1 2 Hecht, E. Óptica (indefinido) . — 4to. - 2001. - S. 378. - ISBN 0805385665 .
↑ El multiplicador aparece solo cuando las fases se configuran simétricamente, es decir, . El libro [2] usa esta definición , pero no el libro [1] . $e^{i\pi /4}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {x} = - \ phi _ {y} = \ pi / 4}$
↑ Gerald, A. Introducción a los métodos matriciales en óptica (sin especificar) . — 1er. - 1975. - ISBN 0471296856 .
↑ Obtención de los parámetros de polarización y retardo de un sistema óptico no despolarizante a partir de la descomposición polar de su matriz de Mueller , Optik, Jose Jorge Gill y Eusebio Bernabeu, 76 , 67-71 (1987).