Sujetador y gato

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sostén		ket
candelabro de pared		ket
pronto		bka

Bra and ket ( inglés bra-ket < corchete corchete ) es un formalismo algebraico (sistema de notación) diseñado para describir estados cuánticos . También llamada notación de Dirac . En mecánica de matrices , esta notación es generalmente aceptada. Esta notación no es más que otra notación textual para vectores, covectores, formas bilineales y productos internos y, por lo tanto, es aplicable (aunque no tan comúnmente utilizada) en álgebra lineal en general. Cuando esta notación se usa en álgebra lineal, generalmente se trata de espacios de dimensión infinita y/o de álgebra lineal sobre números complejos.

Definición y uso

En mecánica cuántica, el estado de un sistema se describe mediante un rayo en un espacio de Hilbert separable o, de manera equivalente, mediante un elemento de un espacio de Hilbert proyectivo cuyos elementos se denominan " vectores de estado " ( "ket-vectores" ) y se denotan por el símbolo ${\ matemáticas {H}),$ $|\psi\ángulo$

A cada vector ket se le asigna un vector sujetador desde el espacio conjugado hasta, es decir, desde $|\psi\ángulo$ ${\ matemáticas {H}),$ ${\mathcal {H}}^{*}.$

El vector sujetador desde el espacio está definido por la relación: $\langle \psi |$ ${\mathcal {H}}^{*}$

$\langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)\rangle =\left(|\ psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)$ , para cualquier vector ket $|\rho\rango.$

Con algunas libertades de expresión, a veces se dice que los vectores bra "coinciden" con sus correspondientes vectores ket complejos conjugados. En este caso, los vectores y funcionales sobre vectores se suelen identificar con columnas o filas de coordenadas de su desarrollo en la base correspondiente o ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\ matemáticas {H}).$

El producto escalar de un vector sujetador con un vector ket (más precisamente, la acción de un vector sujetador sobre un vector ket) se escribe como dos barras verticales "fusionadas" y se omiten los paréntesis. El cuadrado de un vector, por definición de un espacio de Hilbert, no es negativo: siempre que sea posible, se impone la condición de normalización a los vectores que describen los estados del sistema. ${\ estilo de visualización \ langle \ varphi | \ psi \ rangle;}$ $\langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.$ $\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Operadores lineales

Si es un operador lineal de a , entonces la acción del operador sobre el vector ket se escribe como ${\ estilo de visualización A \ dos puntos H \ a H}$ $H$ $H$ $A$ $|\psi\ángulo$ $A|\psi\rangle.$

Para cada operador y vector-bra , se introduce un funcional del espacio , es decir, un vector-bra multiplicado por el operador , que viene definido por la igualdad: $A$ ${\ estilo de visualización \ langle \ varphi |}$ $(\langle\varphi |A)$ ${\mathcal {H}}^{*},$ $A$

{\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )} ,

para cualquier vector

|\psi\ángulo.

Dado que la posición de los corchetes no importa, generalmente se omiten y se escriben simplemente ${\ estilo de visualización \ langle \ varphi | A | \ psi \ rangle.}$

Esta expresión se llama operador de convolución con un vector sujetador y un vector ket El valor de esta expresión es un escalar ( número complejo ). $A$ ${\ estilo de visualización \ langle \ varphi |}$ $|\psi\ángulo.$

En particular, el elemento de matriz de un operador en una base determinada (en notación tensorial - ) se escribe en notación de Dirac como y el valor promedio del observable (forma bilineal) en el estado - como $A$ ${\ Displaystyle A_ {kl}}$ $\langle k|A|l\rangle ,$ $\psi$ ${\ estilo de visualización \ langle \ psi | A | \ psi \ rangle.}$

Multiplicar vectores por un operador (vectores ket a la izquierda, vectores sujetador a la derecha) da vectores del mismo tipo y se escribe de la misma manera que en álgebra lineal (es decir, si los vectores sujetador y ket se identifican con vectores - filas y columnas, y operadores - con matrices cuadradas):

|{\tilde {\psi}}\rangle =A|\psi\rangle ,

\langle {\tilde {\varphi}}|=\langle \varphi |A.

La ecuación de Schrödinger (para un estado estacionario) tendrá la forma:

H|\psi\rangle =E|\psi\rangle,

donde es el hamiltoniano y es un escalar ( nivel de energía ).

H

mi

Diferencias entre la notación bra-ket y la notación tradicional

En matemáticas se utiliza la notación " hermitiana " del producto escalar en el espacio de Hilbert, que tiene el mismo significado que multiplicar bra por ket. Sin embargo, los matemáticos suelen considerar los paréntesis angulares como un signo de una operación y no como parte de la designación de un vector. La notación matemática tradicional, a diferencia de la de Dirac, no es simétrica: se supone que ambos vectores son valores del mismo tipo y la operación es antilineal en el primer argumento de los dos. ${\ estilo de visualización \ langle \ varphi, \; \ psi \ rangle}$

Por otro lado, el producto de bra y ket es bilineal , pero con dos argumentos de distinto tipo. El conjugado al vector ket será el vector bra (donde es la unidad imaginaria ). Sin embargo, en mecánica cuántica, esta rareza de notación puede ignorarse, ya que el estado cuántico representado por un vector no depende de su multiplicación por ningún número complejo módulo uno . $i|\psi\rangle$ $-i\langle\psi |$ $i$

Además, el uso de bra y ket permite enfatizar la diferencia entre el estado (escrito sin corchetes ni barras) y los vectores específicos que lo representan. $\psi$

A diferencia de la notación algebraica, donde los elementos de la base se denotan como en la notación bra-ket, solo se puede indicar el índice del elemento básico: en esto son similares a la notación tensorial , pero, a diferencia de esta última, permiten escribir productos de operadores con vectores sin usar letras adicionales (subíndice o superíndice). $e_{k},$ $\langle k|\;,\;|l\rangle .$

Propiedades matemáticas

Bra y ket también se pueden usar en matemáticas puras para designar elementos de espacios lineales conjugados entre sí. Si, por ejemplo, los vectores ket se consideran "vectores de columna" y los vectores de sujetador - "vectores de fila". ${\mathcal {H}}=R^{n},$

La multiplicación de vectores bra y ket entre sí y por operadores puede considerarse como un caso especial del formalismo matricial "fila por columna" . Es decir, es necesario poner ket-vectores como matrices de tamaño , bra-vectores - de tamaño , operadores - de tamaño , donde está el número de estados del sistema cuántico ( dimensión del espacio ). Las matrices 1 × 1 tienen un solo elemento y se identifican con escalares. En el caso de un espacio de estados de dimensión infinita , se deben imponer condiciones de convergencia adicionales a las "matrices" (en realidad series ). ${\ estilo de visualización N \ veces 1}$ ${\ estilo de visualización 1 \ veces N}$ ${\ estilo de visualización N \ veces N}$ $norte$ ${\ matemáticas {H}}$

La fórmula para el vector conjugado se ve así:

\langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots,{\overline {c}}_ {N}\end{matrix}},

dónde

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}

La entrada de tipo siempre significa un escalar. Un vector sujetador siempre tiene un corchete en el vector ket izquierdo, un corchete en el derecho También se introduce un producto en un orden "antinatural" (similar a la multiplicación matricial de un vector columna por un vector fila), lo que da el llamado operador ket-bra . El operador tiene rango 1 y es un producto tensorial y Dichos operadores a menudo se consideran en la teoría de operadores y la computación cuántica . En particular, el operador (cuando se normaliza ) es una proyección sobre el estado , más precisamente, sobre el subespacio lineal unidimensional correspondiente en ${\ estilo de visualización \ langle \ ldots \ rangle}$ $\langle ,$ $\rango .$ ${\ estilo de visualización | \ varphi \ rangle \ langle \ psi |}$ ${\ estilo de visualización | \ psi \ rangle \ langle \ varphi |}$ $|\psi\ángulo$ ${\ estilo de visualización \ langle \ varphi |.}$ $|\psi\rangle\langle\psi |$ $\langle \psi |\psi \rangle =1$ $\psi$ ${\ matemáticas {H}).$

La asociatividad tiene lugar :

\langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,

|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi } }\ángulo

etc.

Literatura

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Davydov A. S. Mecánica cuántica. — M .: Nauka, 1973. — 704 p.
Dirac P. A. M. Principios de la mecánica cuántica. — M .: Nauka, 1979. — 440 p.
Mesías A. Mecánica cuántica. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 478 p.
Shpolsky E.V. Física atómica. - M. : Nauka, 1974. - T. 2. - 448 p.
Yariv A. Introducción a la teoría y aplicaciones de la mecánica cuántica. — M .: Mir, 1984. — 360 p.