Modelo de Black-Scholes

El modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes ( OPM ) es un modelo que determina el precio teórico de las opciones europeas , lo que implica que si el activo subyacente se negocia en el mercado, entonces el precio de la opción sobre él ya está implícitamente fijado por sí mismo. . Este modelo ha sido ampliamente utilizado en la práctica y, entre otras cosas, también se puede utilizar para valorar todos los derivados, incluidos warrants , valores convertibles e incluso para evaluar el patrimonio de empresas financieramente dependientes.

Según el modelo de Black-Scholes, el elemento clave para determinar el valor de una opción es la volatilidad esperada del activo subyacente. Dependiendo de la fluctuación del activo, el precio del mismo aumenta o disminuye, lo que afecta directamente el valor de la opción en proporción directa. Así, si se conoce el valor de la opción, es posible determinar el nivel de volatilidad esperado por el mercado [1] .

Historia

La fórmula del modelo de valoración de opciones fue desarrollada por primera vez por Fisher Black y Myron Scholes en 1973 en The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Su investigación se basó en trabajos previos de Jack Traynor , Paul Samuelson , James Bones, Sheen Kassoufy Edward Thorpe y se desarrollaron durante un período de rápido crecimiento en el comercio de opciones.

Los Siete Supuestos de la Teoría

Para derivar su modelo de valoración de opciones , Black y Scholes hicieron las siguientes suposiciones:

Los valores ( activo subyacente ) se negocian continuamente y su comportamiento de precio sigue un modelo de movimiento browniano geométrico con parámetros conocidos (en particular, estos parámetros son constantes a lo largo de la vida de la opción).
El activo subyacente de la opción no paga dividendos durante la vida de la opción.
No hay costos de transacción asociados con la compra o venta de acciones u opciones.
La tasa de interés libre de riesgo a corto plazo es conocida y constante a lo largo de la vida de la opción.
Cualquier comprador de un valor puede pedir prestado a una tasa libre de riesgo a corto plazo para pagar cualquier parte de su precio.
La venta en descubierto está permitida sin restricciones, y el vendedor recibirá inmediatamente todo el efectivo por el valor en corto al precio de hoy.
No hay oportunidad de arbitraje .

La inferencia del modelo se basa en el concepto de cobertura libre de riesgo . Al comprar acciones y vender simultáneamente opciones de compra sobre esas acciones, un inversor puede construir una posición libre de riesgo en la que las ganancias de las acciones compensarán exactamente las pérdidas de las opciones, y viceversa.

Una posición cubierta libre de riesgo debe obtener un rendimiento a una tasa igual a la tasa de interés libre de riesgo; de lo contrario, habría una oportunidad de arbitraje y los inversores que trataran de aprovechar esta oportunidad llevarían el precio de la opción al nivel de equilibrio que viene determinada por el modelo.

Fórmulas

Precio de la opción de compra:

C=SN(d_{1})-Xe^{-rT}N(d_{2}),

dónde

d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{X)))+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T)))),

d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T)).

Precio de la opción de venta :

P=Xe^{-rT}N(-d_{2})-SN(-d_{1}).

Designaciones:

$C$ — precio de la opción de compra ;
$S$ — precio actual del activo subyacente (al contado);
$N(x)$ es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar;
$X$ — precio de ejercicio de la opción (strike);
$r$ — tasa de interés libre de riesgo;
$T$ - tiempo hasta el vencimiento de la opción;
$\sigma$ — volatilidad de la rentabilidad del activo subyacente.

"griegos"

Para caracterizar la sensibilidad del precio (prima) de una opción a un cambio en ciertos valores, se utilizan varios coeficientes, llamados "griegos". El nombre proviene del alfabeto griego , cuyas letras denotan estos coeficientes (con la excepción de "vega"). Los "griegos" en el marco del modelo Black-Scholes se calculan explícitamente:

"Griego"	Representación derivada parcial	opciones de llamada	poner opciones
delta	${\frac {\parcial c}{\parcial S))$	${\ Displaystyle N (d_ {1})}$	${\ estilo de visualización -N(-d_{1})=N(d_{1})-1}$
gama	${\frac {\parcial ^{2}c}{\parcial S^{2))}$	${\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T))))$
vega [2] [3]	${\frac {\parcial c}{\parcial \sigma ))$	$SN'(d_{1}){\sqrt {T}}$
theta	${\frac {\parcial c}{\parcial t))$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T))))-rKe^{-r(T)}N(d_{2})$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T))))+rKe^{-r(T)}N(-d_{2})$
ro [3]	${\frac {\parcial c}{\parcial r))$	$K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(d_{2})$	$-K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(-d_{2})$

En particular, las fórmulas gamma y vega son las mismas para opciones de compra y venta, lo cual es una derivación lógica de la teoría de paridad de opciones de compra y venta .

Por ejemplo, el conocimiento de los coeficientes delta y gamma permite estimar el cambio en el precio (prima) de una opción cuando cambia el precio del instrumento financiero subyacente : $\Delta$ $\Gama$ $\ delta c$ $\ delta S$

\delta c\approx \Delta \cdot \delta S+\Gamma \,{\frac {(\delta S)^{2}}{2}}.

Esta fórmula se obtiene expandiendo el precio de la opción en una serie de Taylor . Del mismo modo, cuanto mayor sea theta, más rápido será el tiempo de decaimiento de la opción, y así sucesivamente. $c(S)$

Modelo de Merton

El modelo de Merton se deriva directamente del modelo de Black-Scholes , que permite modelar el valor del patrimonio de la empresa a partir del valor del valor de la empresa y su deuda, presentado en forma de bono cupón cero [4] . En este caso, la acción S se representa como una opción de compra larga sobre el valor total de la empresa V con un precio de ejercicio del bono cupón cero F:

$S=máx(VF,0)$

La deuda D, a su vez, se representa como una cartera ya sea larga en el cupón cero F y corta en acciones de la empresa V al precio de ejercicio F, o larga en acciones de la empresa V y corta en V en el precio de ejercicio F:

$D=F-máx(FV,0)=V-máx(VF,0)$

Notas

↑ Roger Lowenstein, "Cuando el genio falló" capítulo 7 "Banco de volatilidad", p.124
↑ No es una letra griega.
↑ 1 2 el llamado griego bastardo. No hay traducción al ruso para este término, el significado es que la diferenciación se lleva a cabo de acuerdo con el parámetro, que se consideró una constante al derivar la fórmula. Por lo tanto, el uso de griegos bastardos puede conducir a errores graves en el comercio y la gestión de riesgos.
↑ René M. Stulz. Capítulo 18: Riesgos de crédito y derivados de crédito // Gestión de Riesgos y Derivados. — Consorcio, 1999.

Literatura

Negro, Fischer; Myron Scholes. El precio de las opciones y los pasivos corporativos // Journal of Political Economy : diario. - 1973. - vol. 81 , núm. 3 . - Pág. 637-654 . -doi : 10.1086/ 260062 . [una]
Merton, Robert C. Teoría de la fijación de precios de opciones racionales // Bell Journal of Economics and Management Science : diario. - La Corporación RAND, 1973. - Vol. 4 , núm. 1 . - P. 141-183 . -doi : 10.2307/ 3003143 . — .
Casco, John C.Opciones, Futuros y Otros Derivados. - Prentice Hall , 1997. - ISBN 0-13-601589-1 .