Movimiento browniano geométrico

El movimiento browniano geométrico (GBM) (más raramente, movimiento browniano exponencial, movimiento browniano económico) es un proceso aleatorio de tiempo continuo cuyo logaritmo es un movimiento browniano ( proceso de Wiener ). GBM se utiliza para modelar precios en los mercados financieros y se usa principalmente en modelos de precios de opciones , ya que GBM puede tomar cualquier valor positivo. GBM es una aproximación razonable a la dinámica real de los precios de las acciones, sin embargo, no tiene en cuenta eventos raros (valores atípicos).

Un proceso aleatorio S t es GBM si satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica :

{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t))

donde es el movimiento browniano , y (el "parámetro de deriva") y el ("parámetro de volatilidad") son constantes. $W_{t}$ $\mu$ $\sigma$

Para un valor inicial arbitrario S 0 , este SDE tiene la solución

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right ),

¿Qué es una variable aleatoria distribuida lognormalmente con media y varianza? $\mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0}$ $\operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right) .$

La corrección de la solución se puede establecer utilizando el lema de Itô . La variable aleatoria log( S t / S 0 ) se distribuye normalmente con media y varianza , lo que significa que los incrementos de GBM son normales (teniendo en cuenta el precio), lo que da motivo para hablar del proceso "geométrico". ${\ estilo de visualización (\ mu - \ sigma ^ {2}/2) t}$ ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} t}$