Fórmula de tubo

La fórmula del tubo o la fórmula de Weyl es una expresión para el volumen -vecindario de una subvariedad como un polinomio en . Propuesto por Hermann Weil . $r$ $r$

Redacción

Sea una subvariedad de dimensión cerrada en un espacio euclidiano de dimensión, respectivamente , una codimensión . $METRO$ $metro$ $norte$ ${\ estilo de visualización k = nm}$ $METRO$

Denotar por -vecindario . Entonces, para todos los valores positivos suficientemente pequeños , la igualdad $Señor$ $r$ $METRO$ $r$

V(M_{r})=\omega_{k}\cdot r^{k}\cdot \sum_{m\geq 2\cdot i\geq 0}V_{i}(M)\cdot {\frac {r^{2\cdot i}}{k\cdot (k+2)\cdots (k+2\cdot i)))),

donde es el volumen , es el volumen de una bola unitaria en un espacio euclidiano bidimensional. y $V(M_{r})$ $Señor$ $\omega_{k}$ $k$

V_{i}(M)=\int \limits _{M}p_{i}(\mathrm {Rm} )

para algún polinomio homogéneo de grado ; aquí denota el tensor de curvatura . $Pi}$ $i$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {Rm}}$

La expresión es la llamada curvatura de Lipschitz-Killing , es proporcional al Pfaffiano promedio del tensor de curvatura sobre todos los subespacios dimensionales del espacio tangente. $p_{i}(\mathrm {Rm} )$ ${\ estilo de visualización (2 \ cdot i)}$

Notas

El coeficiente distinto de cero más bajo es el volumen -dimensional . $V_{0}(M)$ $metro$ $METRO$
Si la dimensión es par , entonces $METRO$ $m=2\cdot k$ $V_{k}=\chi (M),$

donde es la característica de Euler .

{\ estilo de visualización \ chi (M),}

METRO

Consecuencias

El volumen de un vecindario de una curva suave cerrada simple en un espacio euclidiano bidimensional para pequeños se expresa mediante la fórmula $r$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {r}}$ $\gama$ $norte$ $r$ $V(\gamma _{r})=L(\gamma )\cdot r^{n-1},$

donde denota la longitud .

{\ estilo de visualización L (\ gama)}

\gama

Para superficies cerradas lisas en un espacio euclidiano tridimensional, la igualdad $METRO$ $V(M_{r})=S(M)\cdot r+{\tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3}.$
Si dos subvariedades de un espacio eucidio son isométricas, entonces los volúmenes de sus vecindades son los mismos para todos los pequeños positivos . $r$ $r$

Variaciones y generalizaciones

La fórmula del semitubo para hipersuperficies expresa el volumen de una vecindad unilateral , también es un polinomio en , pero no todos los coeficientes dependen de la curvatura interna. En particular, para superficies en el espacio tridimensional, la fórmula del medio tubo toma la forma $r$ ${\displaystyle M_{r}^{+))$ $r$ $V(M_{r}^{+})=S(M)\cdot r+{\biggl [}\int \limits_{M}H{\biggr]}\cdot r^{2}+{ \tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3},$

donde denota la curvatura media .

H

Véase también

Literatura

Hermann Weyl. Sobre el volumen de los tubos (inglés) // American Journal of Mathematics. - 1939. - Vol. 61 , núm. 2 . - Pág. 461-472 .
Simon Willerton, Volúmenes Intrínsecos y Fórmula del Tubo de Weyl